44.7
たぶん定理44.1の証明の様に、「BとDは有理数」は「BとDは自然数」の誤植だろう、
まあ適当に読み替えれば同じことだが。
x3+ax2+bx+c-y2=0にx=A/B, y=C/Dを代入して分母を払い、
(A3+aA2B+bAB2+cB3)D2-C2B3=0 (1)。これより、A3D2≡0 (mod B), C2B3≡0 (mod D2)。
ここでA/B, C/Dは既約分数だからA≢0 (mod B), C≢0 (mod D)、
さらにこの第2の関係からは中国の剰余定理によりC≢0 (mod D2)である。
以上によりD2≡0 (mod B), B3≡0 (mod D2)。
すなわち自然数s,tが存在してD2=sB, B3=tD2。
前者を(1)に代入して整理するとA3s=B[C2B-s(aA2+bAB+cB2)]≡0 (mod B)なので、
A≢0 (mod B)よりB|sだから、ある自然数uが存在してs=uBである。
するとD2=uB2なのでuは平方数でなければならないから、
ある自然数vが存在してu=v2、すなわちD=vB。
さらにB3=tD2よりB=v2t、D=v3tとなる。これらを(1)に代入して整理すると
A3=t[C2-v2(aA2+bAv2t+cv4t2)]だからt|A3だが、
t|B>0かつgcd(A,B)=1だったから、t=1でなければならない。
したがってB=v2、D=v3。
44.9
(b)
(1,0)
(2,2)
(2,-2)
(3,4)
(3,-4)
(33,184)
(33,-184)
(17/16,23/64)
(17/16,-23/64)
(1186/225,34534/3375)
(1186/225,-34534/3375)
(1411/961,33420/29791)
(1411/961,-33420/29791)
