シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第4章の練習問題

※MathJaxの数式表示に少し時間がかかります。

4.2
(a)
(9,18,81)
(28,84,784)
(70,105,1225)
(65,260,4225)
:
:
なおこのタイプの解では(1,2,3)は直接見つけられない。

(b)
$(n^2A)^3+(n^2B)^3=n^6(A^3+B^3)=n^6C^2=(n^3C)^2$。

(c)
(1,2,3)
(2,2,4)
(7,21,98)
(70,105,1225)
(65,260,4225)
(273,364,8281)
(14,70,588)
:
:

(d)
$2a^3=c^2$だから、$c$は偶数なので$c^2$は4の倍数。$2a^3$が4の倍数だから$a$は偶数となるので、$a=2j$ ($j\ge1$)とおけば$4^2j^3=c^2$。これより$c$も4の倍数だから、$c=4i$ ($i\ge1$)とおけば$j^3=i^2$である。平方数かつ立方数である自然数は、ある$n\ge1$について$n^6$と書け、$j=n^2$, $i=n^3$。したがって$a=2n^2$, $c=4n^3$。逆に$a=2n^2$, $c=4n^3$ ($n\ge1$)は明らかに(*)を満たすので、$a=b=2n^2$, $c=4n^3$が$a=b$となるすべての解である。$n=1$に対する(2,2,4)を除き、$a=b$となる解は既約ではない。

(e)
例えば
(15561,17290,2989441)
(14744,20273,3396649)
(14497,24852,4289041)