シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第7章の練習問題

※MathJaxの数式表示に少し時間がかかります。

7.1
定理7.3により$a=p_1p_2\cdots p_n$と素因数分解される。$\gcd(a,b)=1$だから、$p_1$は$b$の因数でないので、定理7.2により$p_1|c$。そこで$a_1=a/p_1=p_2p_3\cdots p_n$, $c_1=c/p_1$とすると、$a_1|bc_1$だから、上と同様に$p_2|c_1$となるので$p_1p_2|c$。同様に繰り返して$p_1p_2\cdots p_n|c$だから$a|c$。

7.2
$a=p_1p_2\cdots p_m$, $b=q_1q_2\cdots q_n$と素因数分解されたとすると、$\gcd(a,b)=1$より$\{p_1,p_2,\cdots, p_m\}\cap\{q_1q_2\cdots q_n\}=\emptyset$。$a|(c\cdot1)$なので練習問題7.1により$p_1p_2\cdots p_m|c$だから、$c=c'p_1p_2\cdots p_m$とかける。$q_1\nmid p_1p_2\cdots p_m$だから定理7.2により$q_1|c'$。以降$q_2,\cdots, q_n$について練習問題7.1と同様に繰り返して$q_1q_2\cdots q_n|c'$。故に$c'=c''q_1q_2\cdots q_n$となるから、$c=c''p_1p_2\cdots p_mq_1q_2\cdots q_n=c''ab$なので$ab|c$。

7.3
(a)
$n=1$のとき$n(n+1)/2=1$だから成立。$n>1$に対して$1+2+\cdots+(n-1)+n=(n-1)n/2+n=n(n+1)/2$。

(b)
$n=1$のとき$n(n+1)(2n+1)/6=1=1^2$だから成立。$n>1$に対して$1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2+n^2=(n-1)n[2(n-1)+1]/6+n^2=n(n+1)(2n+1)/6$。

(c)
$n=0$のとき$(1-a^{n+1})/(1-a)=1$だから成立。$n>0$に対して$1+a+a^2+\cdots+a^n=(1-a^n)/(1-a)+a^n=(1-a^{n+1})/(1-a)$。

(d)
$n=2$のとき$(n-1)/n=1/2$だから成立。$n>2$に対して$1/(1\cdot2)+\cdots+1/[(n-2)(n-1)]+1/[(n-1)n]=(n-2)/(n-1)+1/[(n-1)n]=(n-1)/n$。

7.4
まー大体の話でいいと思うので、$\mathbb{E}$を公理的に構成するとか、$\mathbb{N}$によらずに証明するとかってのは、ここでは要求されてないよね多分。

(a)(b)
$\mathbb{E}$は$n\in\mathbb{N}$として$4n$か$4n+2$の形の数から構成される。$4n$の形の数は$2\cdot2n$というように$2,2n\in\mathbb{E}$の積に分解できるので$\mathbb{E}$素数でない。$4n+2$の形の数は$\mathbb{N}$において$p_1,\cdots,p_m$を奇素数として$2p_1\cdots p_m$と一意に分解され、偶数$\times$偶数の形になりえないからすべて$\mathbb{E}$素数。

(c)
2通りの分解を与える最小の数：$36=2\cdot18=6\cdot6$
3通りの分解を与える最小の数：$180=2\cdot90=6\cdot30=10\cdot18$
4通りの分解を与える最小の数：$360=2\cdot2\cdot90=2\cdot6\cdot30=2\cdot10\cdot18=6\cdot6\cdot10$

(d)
$e$を1つの$\mathbb{E}$素数として$2^ne$ ($n\geq0$)の形の数。

7.5
(a)
5,9,13,17,21,29

(b)
$441=9\cdot49=21\cdot21$

7.6
(b)
$1000000=2^{6}\cdot 5^{6}$
$1000001=101\cdot 9901$
$1000002=2\cdot 3\cdot 166667$
$1000003=1000003$
$1000004=2^{2}\cdot 53^{2}\cdot 89$
$1000005=3\cdot 5\cdot 163\cdot 409$
$1000006=2\cdot 7\cdot 71429$
$1000007=29\cdot 34483$
$1000008=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 17\cdot 19\cdot 43$
$1000009=293\cdot 3413$
$1000010=2\cdot 5\cdot 11\cdot 9091$
$1000011=3\cdot 333337$
$1000012=2^{2}\cdot 13\cdot 19231$
$1000013=7\cdot 373\cdot 383$
$1000014=2\cdot 3\cdot 166669$
$1000015=5\cdot 200003$
$1000016=2^{4}\cdot 62501$
$1000017=3^{2}\cdot 23\cdot 4831$
$1000018=2\cdot 500009$
$1000019=47\cdot 21277$
$1000020=2^{2}\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 2381$
$1000021=11\cdot 90911$
$1000022=2\cdot 107\cdot 4673$
$1000023=3\cdot 333341$
$1000024=2^{3}\cdot 125003$
$1000025=5^{2}\cdot 13\cdot 17\cdot 181$
$1000026=2\cdot 3^{4}\cdot 6173$
$1000027=7\cdot 19\cdot 73\cdot 103$
$1000028=2^{2}\cdot 250007$
$1000029=3\cdot 31\cdot 10753$
$1000030=2\cdot 5\cdot 100003$