シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第1章練習問題

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1.1

三角数の一般項を$T_n=n(n+1)/2$、平方数の一般項を$S_m=m^2$とする。$T_n=S_m$となる自然数は、不定方程式$n(n+1)/2=m^2$の自然数解$n=n_i, m=m_i$ ($i=1,2,3,..$)。$T_1=S_1=1$より$n_1=1$, $m_1=1$、$T_8=S_6=36$より$n_2=8$, $m_2=6$である。探索すると$T_{49}=S_{35}=1225$より$n_3=49$, $m_3=35$、$T_{288}=S_{204}=41616$より$n_4=288$, $m_4=204$。無数にありそうな気はする。

本を一周読んだ後の記述を使うと、$n(n+1)/2=m^2$より$x=2n+1$, $y=2m$とおけば、Pell方程式（第30章）$x^2-2y^2=1$が得られる。この最小解は$x=x_1=3$, $y=y_1=2$で、定理30.1により、全ての解は$x_k+y_k√2=(x_1+y_1√2)^k$, $k=1,2,3,...$で与えられる。$x_1$は奇数、$y_1$は偶数。また$x_{k-1}$が奇数、$y_{k-1}$が偶数なら、$x_k+ y_k√2=(x_1+y_1√2)(x_{k-1}+ y_{k-1}√2)$より$x_k= x_1x_{k-1}+2y_1y_{k-1}$は奇数、$y_k= y_1x_{k-1}+x_1y_{k-1}$は偶数となるから、全ての$x_k$が奇数、全ての$y_k$が偶数となるので、$n_k=(x_k-1)/2$, $m_k=y_k/2$によって$T_n=S_m$となる自然数の無数の組が得られる。

1.2

$i$番目の奇数までの奇数の和を$S_n=\sum_{i=1}^n (2i-1)$として、$S_1=1, S_2=4, S_3=9, S_4=16, S_5=25,...$となり平方数の列になりそう。実際 $S_n=\sum_{i=1}^n (2i-1)=2\sum_{i=1}^n i-n=2n(n+1)/2-n=n^2$で確かに平方数である。

1.3

$p$が奇素数なら、$p, p+2, p+4$のいずれかは3の倍数だから、その3の倍数が素数3自身の場合、すなわち3,5,7の場合しかない。$p=2$なら$p+2=4$, $p+4=6$は素数でない。したがって、三つ子素数は3,5,7の1組しかない。

1.4

(a)

$N^2-1=(N+1)(N-1)$だから、$N-1=1$すなわち$N=2$の場合しかない。このとき$N^2-1=3$で素数だから、この1つの場合のみ。

(b)

2, 7, 23, 47,....無数にありそうな気はする。

(c)

$N^2-3$については13, 61, 97,...無数にありそうな気はする。$N^2-4$については$N^2-4=(N+2)(N-2)$より$N-2=1$すなわち$N=3$の場合しかない。このとき$N^2-4=5$で素数だから、この1つの場合のみ。

(d)

$a$が平方数でないこと、と予想される。

1.5

$S=1+2+3+...+n$とする。

(i)$n$が偶数の時
$n=2m$として、$S=1+2+3+...+m+(m+1)+...+n$の第$i$項と第$(n-i+1)$項の和($i=1,2,...,m$)は、$i+n-i+1=n+1$なので、各$i=1,2,...,m$について和を取れば、$S=(n+1)m=n(n+1)/2$。

(ii)$n$が奇数の時

$n=2m+1, m=(n-1)/2$として、$S=1+2+3+...+m+(m+1)+(m+2)+...+n$の第$i$項と第$(n-i+1)$項の和($i=1,2,...,m$)は、$i+n-i+1=n+1$で、第$m+1$項は$m+1=(n-1)/2+1=(n+1)/2$。したがって、各$i=1,2,...,m$についての和をとり、第$m+1$項を加えると、$S=(n+1)m+(n+1)/2 =n(n+1)/2$。