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8.1
k,l\in\mathbb{Z}とすると、定義によりa_1-b_1=mk\tag{1}a_2-b_2=ml\tag{2}
(a)
(1)(2)を辺々足して(a_1+a_2)-(b_1+b_2)=m(k+l)だからa_1+a_2\equiv b_1+b_2 \pmod{m}。
(b)
(1)(2)よりa_1=mk+b_1, a_2=ml+b_2。これらの積よりa_1a_2=m(mkl+kb_2+lb_1)+b_1b_2なのでa_1a_2-b_1b_2=m(mkl+kb_2+lb_1)だからa_1a_2\equiv b_1b_2 \pmod{m}。
8.2
k\in\mathbb{Z}として、定義によりac-bc=c(a-b)=mkだからm|c(a-b)。\gcd(c,m)=1だから練習問題7.1によりm|(a-b)となるのでa\equiv b \pmod{m}。
8.3
(a) x\equiv9\pmod{15}
(b) 解なし。
(c) x\equiv1,3,5,7\pmod{8}
(d) x\equiv3,4\pmod{7}
(e) 解なし。
8.4
(a)
aの末尾2桁をa_2とする。すなわちa=100k+a_2 (k\geq0, 0\leq a_2<100 )。a-a_2=100k=4\cdot25kだから、a\equiv a_2\pmod{4}である。
したがって4|aすなわちa\equiv0\pmod{4}と4|a_2すなわちa_2\equiv0\pmod{4}は同値。
(b)
aの末尾3桁をa_3とする。すなわちa=1000k+a_3 (k\geq0, 0\leq a_3<1000 )。a-a_3=1000k=8\cdot125kだから、a\equiv a_3\pmod{8}である。
したがって8|aすなわちa\equiv0\pmod{8}と8|a_3すなわちa_3\equiv0\pmod{8}は同値。
(c)(d)
n+1桁の数aが、1\leq a_n\leq9, 0\leq a_i\leq9 (0\leq i\leq n-1)となるa_0,\cdots,a_nを用いてa=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots+10a_1+a_0と表されているとする。10\equiv1\pmod{9}なので練習問題8.1(b)により10^j\equiv1\pmod{9} (1\leq j\leq n)だから、10^j=9k_j+1 (k_j\in\mathbb{N})と書けるので、aの各桁の和s=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1+a_0としてa=9(a_nk_n+a_{n-1}k_{n-1}+\cdots+a_1k_1)+s\tag{3}これよりa\equiv s \pmod{9}だから、9|aすなわちa\equiv0\pmod{9}と9|sすなわちs\equiv0\pmod{9}は同値。
(3)において3を法としても同様なので、3|aと3|sは同値。
(e)
(c)(d)と同様にa=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots+10a_1+a_0とする。10\equiv-1\pmod{11}なので練習問題8.1(b)により10^j\equiv\left\{\begin{array}{cc} 1\pmod{11}& \mbox{($j$が偶数のとき)}\\-1\pmod{11}& \mbox{($j$が奇数のとき)}\end{array}\right.
これよりaの各桁の交代和をAとしてa\equiv A\pmod{11}だから、11|aすなわちa\equiv0\pmod{11}と11|AすなわちA\equiv0\pmod{11}は同値。
8.5
(a) x\equiv6,13\pmod{14}
(b) 解なし。
(c) x\equiv5,18,31,44,57,70,83\pmod{91}
8.6
(a) \gcd(72,200)=8より\gcd(72,200)\nmid47だから、定理8.1により解はない。
(b) \gcd(4183,15087)=47で、\gcd(4183,15087)\mid5781だから、定理8.1により解は47個。
(c) \gcd(1537,6731)=53より\gcd(1537,6731)\nmid2863だから、定理8.1により解はない。