シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第39章練習問題2

39.7

(a)

練習問題39.4の表から

p₀q₂-p₂q₀=-2

p₁q₃-p₃q₁=2

p₂q₄-p₄q₂=-2

p₃q₅-p₅q₃=2

p₄q₆-p₆q₄=-2

(b)

練習問題39.4の表と、p₆=208341, q₆=66317から

p₀q₂-p₂q₀=-15

p₁q₃-p₃q₁=1

p₂q₄-p₄q₂=-292

p₃q₅-p₅q₃=1

p₄q₆-p₆q₄=-1

(c)

p_n-2q_n- p_nq_n-2=(-1)^n-1a_nと予想される。

(d)

p_n-2q_n- p_nq_n-2=a_nq_n-1p_n-2+p_n-2q_n-2-a_np_n-1q_n-2-p_n-2q_n-2

=a_n(q_n-1p_n-2-p_n-1q_n-2)=(-1)^n-1a_n

39.8

(a)(b)

q₀=1, q₁=1, q_n=q_n-1+q_n-2 (n≥2)だから、q_n=F_n (F_nはFibonacci数)で、

p₀=1, p₁=2, p_n=p_n-1+p_n-2(n≥2)から、p_n=F_n+1。

p₂=3, q₂=2

p₃=5, q₃=3

p₄=8, q₄=5

p₅=13, q₅=8

p₆=21, q₆=13

p₇=34, q₇=21

p₈=55, q₈=34

p₉=89, q₉=55

(c)

n→∞でp_n/q_n=F_n+1/F_n→γ=(1+√5)/2: 黄金比。

39.9

(a) [a,b]=a+1/b=(ab+1)/b, [b,a]=b+1/a=(ab+1)/aなので分子は等しい。

(b) [a,b,c]=(abc+a+c)/(bc+1), [c,b,a]=(abc+a+c)/(ab+1)なので分子は等しい。

(c) 分子は等しいと予想される。

(d)

...

39.11

sqrt(2)=[1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2]

sqrt(3)=[1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2]

sqrt(4)=[2]

sqrt(5)=[2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4]

sqrt(6)=[2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4]

sqrt(7)=[2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1]

sqrt(8)=[2, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4]

sqrt(9)=[3]

sqrt(10)=[3, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6]

sqrt(11)=[3, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6]

sqrt(12)=[3, 2, 6, 2, 6, 2, 6, 2, 6, 2, 6]

sqrt(13)=[3, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6]

sqrt(14)=[3, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2]

sqrt(15)=[3, 1, 6, 1, 6, 1, 6, 1, 6, 1, 6]

sqrt(16)=[4]

sqrt(17)=[4, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8]

sqrt(18)=[4, 4, 8, 4, 8, 4, 8, 4, 8, 4, 8]

sqrt(19)=[4, 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1]

sqrt(20)=[4, 2, 8, 2, 8, 2, 8, 2, 8, 2, 8]

sqrt(21)=[4, 1, 1, 2, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1]

sqrt(22)=[4, 1, 2, 4, 2, 1, 8, 1, 2, 4, 2]

sqrt(23)=[4, 1, 3, 1, 8, 1, 3, 1, 8, 1, 3]

sqrt(24)=[4, 1, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8]

sqrt(25)=[5]

sqrt(26)=[5, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10]

sqrt(27)=[5, 5, 10, 5, 10, 5, 10, 5, 10, 5, 10]

sqrt(28)=[5, 3, 2, 3, 10, 3, 2, 3, 10, 3, 2]

sqrt(29)=[5, 2, 1, 1, 2, 10, 2, 1, 1, 2, 10]

sqrt(30)=[5, 2, 10, 2, 10, 2, 10, 2, 10, 2, 10]

循環するパターンがある。

39.12

CubicRoot(2)=[1, 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1]

CubicRoot(3)=[1, 2, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 1, 6, 2]

CubicRoot(4)=[1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 3]

CubicRoot(5)=[1, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 1, 5, 1, 1]

CubicRoot(6)=[1, 1, 4, 2, 7, 3, 508, 1, 5, 5, 1]

CubicRoot(7)=[1, 1, 10, 2, 16, 2, 1, 4, 2, 1, 21]

CubicRoot(8)=[2]

CubicRoot(9)=[2, 12, 2, 18, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1]

CubicRoot(10)=[2, 6, 2, 9, 1, 1, 2, 4, 1, 12, 1]

CubicRoot(11)=[2, 4, 2, 6, 1, 1, 2, 1, 2, 9, 88]

CubicRoot(12)=[2, 3, 2, 5, 15, 7, 3, 1, 1, 3, 1]

CubicRoot(13)=[2, 2, 1, 5, 1, 1, 43, 3, 2, 1, 1]

CubicRoot(14)=[2, 2, 2, 3, 1, 1, 5, 5, 9, 6, 21]

CubicRoot(15)=[2, 2, 6, 1, 8, 1, 10, 8, 12, 1, 719]

CubicRoot(16)=[2, 1, 1, 12, 10, 18, 1, 6, 1, 21, 1]

CubicRoot(17)=[2, 1, 1, 3, 138, 1, 1, 3, 2, 3, 1]

CubicRoot(18)=[2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 22, 1, 2, 2]

CubicRoot(19)=[2, 1, 2, 63, 1, 2, 2, 2, 1, 95, 2]

CubicRoot(20)=[2, 1, 2, 1, 1, 154, 6, 1, 1, 1, 6]

特にパターンはわからない。

39.13

定理39.1と39.2の証明において、a_nが整数であることは使っていないので、

a_nがa_n≥1の実数列であっても、p_n,q_nが整数ではないことが異なるだけで、

定理は成り立つ。定理39.1とa_n≥1, 練習問題39.8より

q_n=a_nq_n-1+q_n-2≥ F_n (Fibonacci列)から、n→∞でq_n→∞なので、

定理39.2から|u_n-u_n-1|=1/q_n-1q_n→0となり、u_nはCauchy列。

したがってlim _n→∞ u_nが存在する。

シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第39章練習問題1

39.1

(a)

√3=[1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,..]

√5=[2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,..]

(b)

a₀=⌊√3⌋=1

a₁=⌊1/(√3-a₀)⌋=⌊(√3+1)/2⌋=1

a₂=⌊1/[(√3+1)/2-a₁]⌋=⌊√3+1⌋=2

a₃=⌊1/(√3+1-a₂)⌋=⌊(√3+1)/2⌋=a₁

となり、床関数の変数がa₁とa₃とで同一となるから、

a₃以後はa₁, a₂の組が繰り返される。

(c)

a₀=⌊√5⌋=2

a₁=⌊1/(√5-a₀)⌋=⌊√5+2⌋=4

a₂=⌊1/(√5+2-a₁)⌋=⌊√5+2⌋=a₁

となり、床関数の変数がa₁とa₂とで同一となるから、

a₂以後はa₁と同じ値が繰り返される。

39.2

(a)

a₀=⌊π²⌋=9

a₁=⌊1/(π²-a₀)⌋=⌊1.149...⌋=1

a₂=⌊1/(1.1499...-a₁)⌋=⌊6.6689...⌋=6

(b)

1以外では特定の素数(2,3,5,47)とそれらからなる合成数しか現れないのかなあ。

先まで見ないと分からんけど。

(c)

227/23≈9.86956522...。π²=9.8696044..なので小数点以下3桁まで一致。

(d)

10748/1089≈9.86960514...なので小数点以下5桁まで一致。

39.3

(a)

a₀=⌊√2+√3⌋=3

a₁=⌊1/(√2+√3-a₀)⌋=⌊6.83693...⌋=6

a₂=⌊1/(6.83693...-a₁)⌋=⌊1.194835...⌋=1

(b)

特には・・・。

(c)(d)

√2+√3≈3.14626437...

p₀=3, q₀=1, p₀/q₀=3

p₁=19, q₁=6, p₁/q₁=19/6≈3.16666..., |√2+√3-p₁/q₁|≈1/10^1.69

p₂=22, q₂=7, p₂/q₂=22/7≈3.1428..., |√2+√3-p₂/q₂|≈1/10^2.468

p₃=129, q₃=41, p₃/q₃=129/41≈3.14634146..., |√2+√3-p₃/q₃|≈1/10^4.113

p₄=925, q₄=294, p₄/q₄=925/294≈3.1462585..., |√2+√3-p₄/q₄|≈1/10^5.232

p₅=1054, q₅=335, p₅/q₅=1054/335≈3.14626866..., |√2+√3-p₅/q₅|≈1/10^5.368

p₆=1979, q₆=629, p₆/q₆=1979/629≈3.14626391..., |√2+√3-p₆/q₆|≈1/10^6.338

p₇=8970, q₇=2831, p₇/q₇=8970/2831≈3.14626447..., |√2+√3-p₇/q₇|≈1/10^7.001

39.4

(a)

p₁=3, q₁=2, q₁|p₁-q₁√2|=2|3-2√2|=0.343145751...

p₂=7, q₂=5, q₂|p₂-q₂√2|=5|7-5√2|=0.355339059...

p₃=17, q₃=12, q₃|p₃-q₃√2|=12|17-12√2|=0.353247018...

p₄=41, q₄=29, q₄|p₄-q₄√2|=29|41-29√2|=0.353605956...

p₅=99, q₅=70, q₅|p₅-q₅√2|=70|99-70√2|=0.353544372...

p₆=239, q₆=169, q₆|p₆-q₆√2|=169|239-169√2|=0.353554938...

p₇=577, q₇=408, q₇|p₇-q₇√2|=408|577-408√2|=0.353553125...

p₈=1393, q₈=985, q₈|p₈-q₈√2|=985|1393-985√2|=0.353553436...

(b)

p₁=4, q₁=3, q₁|p₁-q₁·2^1/3|=3|4-3·2^1/3|=0.660710551...

p₂=5, q₂=4, q₂|p₂-q₂·2^1/3|=4|5-4·2^1/3|=0.158736798...

p₃=29, q₃=23, q₃|p₃-q₃·2^1/3|=23|29-23·2^1/3|=0.501764606...

p₄=34, q₄=27, q₄|p₄-q₄·2^1/3|=27|34-27·2^1/3|=0.482445373...

p₅=63, q₅=50, q₅|p₅-q₅·2^1/3|=50|63-50·2^1/3|=0.197375263...

p₆=286, q₆=227, q₆|p₆-q₆·2^1/3|=227|286-227·2^1/3|=0.471780033...

p₇=349, q₇=277, q₇|p₇-q₇·2^1/3|=277|349-277·2^1/3|=0.517762616...

(c)

p₁=22, q₁=7, q₁|p₁-q₁π|=7|22-7π|=0.0619599741...

p₂=333, q₂=106, q₂|p₂-q₂π|=106|333-106π|=0.935055735...

p₃=355, q₃=113, q₃|p₃-q₃π|=113|355-113π|=0.00340631193...

p₄=103993, q₄=33102, q₄|p₄-q₄π|=33102|103993-33102π|=0.633219299...

p₅=104348, q₅=33215, q₅|p₅-q₅π|=33215|104348-33215π|=0.365864174...

(d)

（問題文の|p_n-q_n√2|は誤植で、正しくはq_n|p_n-q_n√2|）

q_n|p_n-q_n√2|は1/(2√2)=0.353553391...に収束する。

∵) p₀=1, p₁=3, p_n=2p_n-1+p_n-2 (n≥2)だから、p_nは線形回帰数列。

練習問題37.5と同様に、漸化式の特性方程式α²=2α+1から

一般項p_n=[(1+√2)ⁿ⁺¹+(1-√2)ⁿ⁺¹]/2を得る。

同様にq_nもq₀=1, q₁=2, q_n=2q_n-1+q_n-2 (n≥2)の線形回帰数列で、

q_n=[(2+√2) (1+√2)ⁿ+(2-√2) (1-√2)ⁿ]/4。

これよりq_n|p_n-q_n√2|=(√2-1)[2+√2-(2-√2)( √2-1)²ⁿ]/4

→(2+√2)(√2-1)/4=1/(2√2) (n→∞)。

(e)

u_n=p_n/q_nは明らかにn→∞でαに収束するので、

任意の正定数εに対しあるn₀が存在してn≥n₀なるすべてのnに対し

|p_n/q_n-α|<εである。

定理39.2のp_n-1/q_n-1- p_n/q_n=(-1)ⁿ/(q_n-1q_n)より、

|(-1)ⁿ/(q_n-1q_n)|=1/(q_n-1q_n)=|p_n-1/q_n-1- p_n/q_n|=|p_n-1/q_n-1-α-(p_n/q_n-α)|

≥|p_n-1/q_n-1-α|-|p_n/q_n-α|>|p_n-1/q_n-1-α|-ε。

あとはこれより|p_n-1/q_n-1-α|<1/(q_n-1q_n)+ ε<1/q_n-1²とできることを

示せばいいのだと思うが・・・。

39.5

p_-1=p₁-a₁p₀=1, p_-2=p₀-a₀p_-1=0

q_-1=q₁-a₁q₀=0, q_-2=q₀-a₀q_-1=1 

39.6

定理39.2のp_n-1q_n- p_nq_n-1=(-1)ⁿを、

p_n, q_nを係数とした一次不定方程式とみなすと、

nが偶数の時はxq_n+ yp_n=1の解x=p_n-1, y=-q_n-1が存在することになるので

定理6.1（一次方程式定理）により、gcd(p_n, q_n)=1。

nが奇数の時は両辺に-1をかけて、

xq_n+ yp_n=1の解x=-p_n-1, y=q_n-1が存在すると見做せば同様にgcd(p_n, q_n)=1。