シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第39章練習問題2

39.7

(a)

練習問題39.4の表から

p₀q₂-p₂q₀=-2

p₁q₃-p₃q₁=2

p₂q₄-p₄q₂=-2

p₃q₅-p₅q₃=2

p₄q₆-p₆q₄=-2

(b)

練習問題39.4の表と、p₆=208341, q₆=66317から

p₀q₂-p₂q₀=-15

p₁q₃-p₃q₁=1

p₂q₄-p₄q₂=-292

p₃q₅-p₅q₃=1

p₄q₆-p₆q₄=-1

(c)

p_n-2q_n- p_nq_n-2=(-1)^n-1a_nと予想される。

(d)

p_n-2q_n- p_nq_n-2=a_nq_n-1p_n-2+p_n-2q_n-2-a_np_n-1q_n-2-p_n-2q_n-2

=a_n(q_n-1p_n-2-p_n-1q_n-2)=(-1)^n-1a_n

39.8

(a)(b)

q₀=1, q₁=1, q_n=q_n-1+q_n-2 (n≥2)だから、q_n=F_n (F_nはFibonacci数)で、

p₀=1, p₁=2, p_n=p_n-1+p_n-2(n≥2)から、p_n=F_n+1。

p₂=3, q₂=2

p₃=5, q₃=3

p₄=8, q₄=5

p₅=13, q₅=8

p₆=21, q₆=13

p₇=34, q₇=21

p₈=55, q₈=34

p₉=89, q₉=55

(c)

n→∞でp_n/q_n=F_n+1/F_n→γ=(1+√5)/2: 黄金比。

39.9

(a) [a,b]=a+1/b=(ab+1)/b, [b,a]=b+1/a=(ab+1)/aなので分子は等しい。

(b) [a,b,c]=(abc+a+c)/(bc+1), [c,b,a]=(abc+a+c)/(ab+1)なので分子は等しい。

(c) 分子は等しいと予想される。

(d)

...

39.11

sqrt(2)=[1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2]

sqrt(3)=[1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2]

sqrt(4)=[2]

sqrt(5)=[2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4]

sqrt(6)=[2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4]

sqrt(7)=[2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1]

sqrt(8)=[2, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4]

sqrt(9)=[3]

sqrt(10)=[3, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6]

sqrt(11)=[3, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6]

sqrt(12)=[3, 2, 6, 2, 6, 2, 6, 2, 6, 2, 6]

sqrt(13)=[3, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6]

sqrt(14)=[3, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2]

sqrt(15)=[3, 1, 6, 1, 6, 1, 6, 1, 6, 1, 6]

sqrt(16)=[4]

sqrt(17)=[4, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8]

sqrt(18)=[4, 4, 8, 4, 8, 4, 8, 4, 8, 4, 8]

sqrt(19)=[4, 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1]

sqrt(20)=[4, 2, 8, 2, 8, 2, 8, 2, 8, 2, 8]

sqrt(21)=[4, 1, 1, 2, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1]

sqrt(22)=[4, 1, 2, 4, 2, 1, 8, 1, 2, 4, 2]

sqrt(23)=[4, 1, 3, 1, 8, 1, 3, 1, 8, 1, 3]

sqrt(24)=[4, 1, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8]

sqrt(25)=[5]

sqrt(26)=[5, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10]

sqrt(27)=[5, 5, 10, 5, 10, 5, 10, 5, 10, 5, 10]

sqrt(28)=[5, 3, 2, 3, 10, 3, 2, 3, 10, 3, 2]

sqrt(29)=[5, 2, 1, 1, 2, 10, 2, 1, 1, 2, 10]

sqrt(30)=[5, 2, 10, 2, 10, 2, 10, 2, 10, 2, 10]

循環するパターンがある。

39.12

CubicRoot(2)=[1, 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1]

CubicRoot(3)=[1, 2, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 1, 6, 2]

CubicRoot(4)=[1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 3]

CubicRoot(5)=[1, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 1, 5, 1, 1]

CubicRoot(6)=[1, 1, 4, 2, 7, 3, 508, 1, 5, 5, 1]

CubicRoot(7)=[1, 1, 10, 2, 16, 2, 1, 4, 2, 1, 21]

CubicRoot(8)=[2]

CubicRoot(9)=[2, 12, 2, 18, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1]

CubicRoot(10)=[2, 6, 2, 9, 1, 1, 2, 4, 1, 12, 1]

CubicRoot(11)=[2, 4, 2, 6, 1, 1, 2, 1, 2, 9, 88]

CubicRoot(12)=[2, 3, 2, 5, 15, 7, 3, 1, 1, 3, 1]

CubicRoot(13)=[2, 2, 1, 5, 1, 1, 43, 3, 2, 1, 1]

CubicRoot(14)=[2, 2, 2, 3, 1, 1, 5, 5, 9, 6, 21]

CubicRoot(15)=[2, 2, 6, 1, 8, 1, 10, 8, 12, 1, 719]

CubicRoot(16)=[2, 1, 1, 12, 10, 18, 1, 6, 1, 21, 1]

CubicRoot(17)=[2, 1, 1, 3, 138, 1, 1, 3, 2, 3, 1]

CubicRoot(18)=[2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 22, 1, 2, 2]

CubicRoot(19)=[2, 1, 2, 63, 1, 2, 2, 2, 1, 95, 2]

CubicRoot(20)=[2, 1, 2, 1, 1, 154, 6, 1, 1, 1, 6]

特にパターンはわからない。

39.13

定理39.1と39.2の証明において、a_nが整数であることは使っていないので、

a_nがa_n≥1の実数列であっても、p_n,q_nが整数ではないことが異なるだけで、

定理は成り立つ。定理39.1とa_n≥1, 練習問題39.8より

q_n=a_nq_n-1+q_n-2≥ F_n (Fibonacci列)から、n→∞でq_n→∞なので、

定理39.2から|u_n-u_n-1|=1/q_n-1q_n→0となり、u_nはCauchy列。

したがってlim _n→∞ u_nが存在する。