シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第40章練習問題1

40.1

(a) (4+√37)/7

(b) (8+√15)/7

(c) (7-√15)/2

(d) (5+√3)/2

(e) (9+√145)/16

(f) (24+√101)/25

40.2

上付き線はフォントが出ないので、繰り返しは()でくくる。

(a) [1,3,(2,1)], 周期2

(b) [1,(17)] , 周期1

(c) [0, 1, 2, (1, 30, 1, 1, 1, 7, 6, 7, 1, 1)], 周期10

(d) [1, (1, 4, 1, 2, 6, 2)], 周期6

40.3

(a)

[b₁, b₂, b₃, B]=[(b₁b₂b₃+b₁+b₃)B+b₁b₂+1]/[b₂b₃+1)B+b₂]

u=b₁b₂b₃+b₁+b₃

v=b₁b₂+1

w=b₂b₃+1

z=b₂

(b)

[b₁, b₂, b₃, b₄, B]=b₁+1/[b₂, b₃, b₄, B]

=[(b₁b₂b₃b₄+b₁b₂+b₁b₄+b₃b₄+1)B+b₁b₂b₃+b₁+b₃]/[b₂b₃b₄+b₂+b₄)B+b₂b₃+1]

u=b₁b₂b₃b₄+b₁b₂+b₁b₄+b₃b₄+1

v=b₁b₂b₃+b₁+b₃

w=b₂b₃b₄+b₂+b₄

z=b₂b₃+1

(c)

表39.2の結果と一致する。

(d)

u_m, z_mはb_iの奇数次、v_m, w_mはb_iの偶数次。

mについての数学的帰納法で証明できるだろう。

40.4

(a)

[(b,c)]=[bc+√(b²c²+4bc)]/(2c)より、

[a,(b,c)]=(2a-c)/2+√(b²c²+4bc)/(2b)

(b)

b=cのとき[a, (b,b)]=[a,(b)]=(2a-b)/2+√(b²+4)/2なので命題40.1の結果に一致。

(c)

2a=cかつ2a≠bつまり[a,(b,2a)]のとき。

(d)

2a=cかつ2a≠bかつ、2|bまたはa|bのとき、[a,(b,2a)]= √(a²+2a/b)よりD=a²+2a/b。

40.5

(a)

練習問題39.11から

√2=[1, (2)]：周期1

√3=[1, (1, 2)]：周期2

√5=[2, (4)]：周期1

√6=[2, (2, 4)]：周期2

√7=[2, (1, 1, 1, 4)]：周期4

√8=[2, (1, 4)]：周期2

√10=[3,(6)]：周期1

√11=[3, (3, 6)]：周期2

√12=[3, (2, 6)]：周期2

√13=[3, (1, 1, 1, 1, 6)]：周期5

√14=[3, (1, 2, 1, 6)]：周期4

√15=[3, (1, 6)]：周期2

√17=[4,(8)]：周期1

√18=[4, (4, 8)]：周期2

√19=[4, (2, 1, 3, 1, 2, 8)]：周期6

√20=[4, (2, 8)]：周期2

奇数となるのはD=2, 5, 10, 13, 17

Dは2またはD≡1 (mod 4)の素数またはこれらの合成数？

(b)

√23=[1, (1, 3, 1, 8)]：周期4

√29=[5, (2, 1, 1, 2, 10)]：周期5

√31=[5, (1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10)]：周期8

√37=[6, (12)]：周期1

ちなみに

√21=[4, (1, 1, 2, 1, 1, 8)]：周期6

√26=[5, (10)]：周期1

√33=[5, (1, 2, 1, 10)]：周期4

√50=[7, (14)]：周期1

√65=[8, (16)]：周期1

やはりDは2またはD≡1 (mod 4)の素数またはこれらの合成数っぽい。

(c)

命題40.1より、b=2aなら周期は1でD=a²+1だから、a=1,2,3,...、

すなわちD=2,5,10,17, 26...。

√2=[1, (2)]よりp/q=[1]=1で、p²-2q²=-1の最小解は(p,q)=(1,1)。

√5=[2, (4)]よりp/q=[2]=2で、p²-5q²=-1の最小解は(p,q)=(2,1)。

√10=[3, (6)]よりp/q=[3]=3で、p²-10q²=-1の最小解は(p,q)=(3,1)。

√17=[4, (8)]よりp/q=[4]=4で、p²-17q²=-1の最小解は(p,q)=(4,1)。

一般に、√(a²+1)=[a, (2a)]よりp/q=[a]= aで、p²-(a²+1)q²=-1の最小解は(p,q)=(a,1)。

(d)

練習問題10.4(d)より2a=cかつ2a≠bかつ、2|bまたはa|bのとき、

[a,(b,2a)]= √(a²+2a/b)よりD=a²+2a/b。

a=b=1, 2,..の時√D =√(a²+2)=[a,(a,2a)]。

例えばa=b=1で√3=[1,(1,2)]、a=b=2で√6=[2,(2,4)]、a=b=3で√11=[3,(3,6)]など。