コックス「ガロワ理論」 15.3節の演習問題

演習問題1

(g(iz))'=ig'(iz)と、g(iz)=ig(z)から(g(iz))'=i(g(z))'=ig'(z)なので、

g'(iz)=g'(z)。

演習問題2

(a)

u=Re(φ(z))=φ(x)φ'(y)/(1-φ²(x)φ²(y))と、

v=Im(φ(z))=φ(y)φ'(x)/(1-φ²(x)φ²(y))に対し、

15.2節演習問題2(d)よりφ''(x)=-2φ³(x)も用いて容易に確かめられる。

(b)

(15.4)の定義からφ(0)=0, φ(ϖ/2)=1。

0≤x≤ϖ/2に対し、(15.8)によってφ'(x)=√(1-φ⁴(x))だから、

φ'(0)=1, φ'(ϖ/2)=0。したがって(15.23)の最初の2行を得る。

(15.9)によってφ(ϖ)=φ(ϖ-0)=-φ(0)=0,

また15.2節演習問題2(c)よりφ'(ϖ)=φ'(ϖ-0)=-φ'(0)=-1。

したがって(15.23)の3行目を得る。

(15.9)とφの周期性によりφ(3ϖ/2)=φ(-ϖ/2)=-φ(ϖ/2)=-1。

15.2節演習問題2(a)(b)よりφ'(3ϖ/2)=φ'(-ϖ/2)=φ'(ϖ/2)=0。

したがって(15.23)の4行目を得る。

z=x+iyとして、iz=-y+ixだから、(15.22)により

φ(iz)=(φ(-y)φ'(x)+iφ(x)φ'(-y))/(1-φ²(-y)φ²(x))

=(-φ(y)φ'(x)+iφ(x)φ'(y))/(1-φ²(y)φ²(x))

=i(iφ(y)φ'(x)+φ(x)φ'(y))/(1-φ²(y)φ²(x))=iφ(z)。

さらに演習問題1によりφ'(iz)=φ'(z)。よって(15.24)を得る。

(15.23)によりφ(0)=φ(ϖ)=0だから、φの周期性により、

m∈ℤに対しφ(mϖ)=0。(15.24)によりφ(mϖi)=iφ(mϖ)=0。

また(15.23)によりφ'(0)=1, φ'(ϖ)=-1だから、

m∈ℤが偶数ならφ'(mϖ)=1、奇数ならφ'(mϖ)=-1だから、

m∈ℤに対しφ'(mϖ)=(-1)^m。(15.24)によりφ'(mϖi)=φ'(mϖ)=(-1)^m。

よって(15.25)を得る。

加法法則と(15.25)から、m,n∈ℤに対し

φ(z+mϖ)=(φ(z)φ'(mϖ)+φ(mϖ)φ'(z))/(1+φ²(z)φ²(mϖ))=(-1)^mφ(z),

φ(z+nϖi)=(φ(z)φ'(nϖi)+φ(nϖi)φ'(z))/(1+φ²(z)φ²(nϖi))=(-1)ⁿφ(z)。

よって(15.26)を得る。

演習問題3

加法法則と(15.9),(15.23)(15.24)および15.2節演習問題2(b)より、

φ(z±ϖi/2)=(φ(z)φ'(±ϖi/2)+φ(±ϖi/2)φ'(z))/(1+φ²(z)φ²(±ϖi/2))

=(φ(z)φ'(ϖi/2)±φ(ϖi/2)φ'(z))/(1+φ²(z)φ²(ϖi/2))

=(φ(z)φ'(ϖ/2)±iφ(ϖ/2)φ'(z))/(1-φ²(z)φ²(ϖ/2))

=±iφ'(z)/(1-φ²(z))。

演習問題4

z₀=(m+in)ϖ/2（m+nは奇数）なら、l,k∈ℤとして

z₀=ϖ/2+lϖ+kϖi,

z₀=ϖi/2+lϖ+kϖi,

z₀=3ϖ/2+lϖ+kϖi,

z₀=3ϖi/2+lϖ+kϖi,

z₀=ϖ+ϖi/2+lϖ+kϖi,

z₀=ϖ/2+ϖi+lϖ+kϖi,

のいずれかである。この全てのz₀に対しφ'(z₀)=0を示せばよい。

命題15.3.1(c)を微分してφ'(z+lϖ+kϖi)=(-1)^l+kφ'(z)だから、

(15.23)(15.24)により

φ'(ϖ/2+lϖ+kϖi)=(-1)^l+kφ'(ϖ/2)=0,

φ'(ϖi/2+lϖ+kϖi)=(-1)^l+kφ'(ϖi/2)=(-1)^l+kφ'(ϖ/2)=0,

φ'(3ϖ/2+lϖ+kϖi)=(-1)^l+kφ'(3ϖ/2)=0,

φ'(3ϖi/2+lϖ+kϖi)=(-1)^l+kφ'(3ϖi/2)=(-1)^l+kφ'(3ϖ/2)=0。

また演習問題3によりφ(z+ϖi/2)=iφ'(z)/(1-φ²(z))だから、

φ'(z+ϖi/2)=-iφ(z+ϖi)(1-φ²(z+ϖi/2)),

φ'(z+ϖi)=-iφ(z+3ϖi/2)(1-φ²(z+ϖi))なので、

φ'(ϖ+ϖi/2)=-iφ(ϖ+ϖi)(1-φ²(ϖ+ϖi/2)),

φ'(ϖ/2+ϖi)=-iφ(ϖ/2+3ϖi/2)(1-φ²(ϖ/2+ϖi))。

加法法則と(15.23)~(15.25)により

φ(ϖ+ϖi)=(φ(ϖ)φ'(ϖi)+φ(ϖi)φ'(ϖ))/(1+φ²(ϖ)φ²(ϖi))=0,

φ(ϖ/2+3ϖi/2)=(φ(ϖ/2)φ'(3ϖi/2)+φ(3ϖi/2)φ'(ϖ/2))/(1+φ²(ϖ/2)φ²(3ϖi/2))=0,

だから、

φ'(ϖ+ϖi/2+lϖ+kϖi)=(-1)^l+kφ'(ϖ+ϖi/2)=0,

φ'(ϖ/2+ϖi+lϖ+kϖi)=(-1)^l+kφ'(ϖ/2+ϖi)=0。

以上によりφ'(z₀)=0。

演習問題5

(a)

φに関する恒等式P(φ(x))=0がx∈ℝで成り立つとする。

D=ℂ∖{z∈ℂ| z=(m+in)ϖ/2 (m,nは奇数)}として、

命題15.3.1によりφ(z)はDにおいて解析的で、ℝ⊂D。

ℝはD内に集積点を持つので、P(φ(z))が解析的ならば、

一致の定理によりz∈DについてP(φ(z))=0である。

(b)

φ'(z)-(1-φ⁴(z))はDにおいて解析的で、z∈ℝでφ(z)-(1-φ⁴(z))=0だから、

(a)によりz∈Dについてφ'(z)-(1-φ⁴(z))=0。

演習問題6

定理15.3.1により加法公式が

D=ℂ∖{z∈ℂ| z=(m+in)ϖ/2 (m,nは奇数)}で成り立つから、

演習問題5(a)により(15.9)(15.12)(15.13)はDでそのまま使える。

z=(-1)^m+nz₀+(m+in)ϖなら、x=(z+z₀)/2, y=(z-z₀)/2とすると、

m+nが奇数ならx=(m+in)ϖ、m+nが偶数ならy=(m+in)ϖである。

命題15.3.1の加法公式と、(15.25)より

φ((m+in)ϖ)=(φ(mϖ)φ'(nϖi)+φ(nϖi)φ'(mϖ))/(1+φ²(mϖ)φ²(nϖi))=0。

(15.12)よりφ(z)-φ(z₀)=φ(x+y)-φ(x-y)=2φ(y)φ’(x)/(1-φ²(x)φ²(y))なので、

m+nが偶数ならφ(y)=0だからφ(z)=φ(z₀)。

m+nが奇数なら演習問題4によりφ’(x)=0だからφ(z)=φ(z₀)。

よってφ(z)=φ(z₀)。

逆にφ(z)=φ(z₀)なら、x=(z+z₀)/2, y=(z-z₀)/2として、

(15.12)よりφ(z)-φ(z₀)=φ(x+y)-φ(x-y)=2φ(y)φ’(x)/(1-φ²(x)φ²(y))=0なので、

φ(y)=0またはφ’(x)=0。

φ(y)=0なら定理15.3.2によりy=(z-z₀)/2=(m'+in')ϖ (m',n'∈ℤ)だから、

z=z₀+(m+in)ϖ (m,nは偶数)。

m,nが共に奇数の時は極だから、Dではm+nが偶数としてよいので、

z=(-1)^m+nz₀+(m+in)ϖ (m+nは偶数)。

φ’(x)=0なら演習問題5(b)によりφ⁴(x)=1だからφ(x)= ±1または±i。

φ(x)=1なら、x=x₁+ix₂ (x₁,x₂∈ℝ)として(15.22)より

φ(x₂)φ'(x₁)/(1-φ²(x₁)φ²(x₂))=0だから、φ(x₂)=0またはφ'(x₁)=0。

φ(x₂)=0なら(15.23)からx₂=n'ϖ (n'∈ℤ)で、このときφ'(x₂)=(-1)^n'である。

1=φ(x₁)φ'(x₂)/(1-φ²(x₁)φ²(x₂))=(-1)^n'φ(x₁)だから、φ(x₁)=(-1)^n'により、

m'∈ℤとしてn'が偶数ならx₁=(4m'+1)ϖ/2 、n'が奇数ならx₁=(4m'+3)ϖ/2。

m=4m'+1または4m'+3、n=2n'としてまとめると、

x=(m+in)ϖ/2 (mは奇数、nは偶数)となるので、

z=-z₀+(m+in)ϖ (mは奇数、nは偶数)。

また、φ'(x₁)=0なら(15.23)からx₁=(2n'+1)ϖ/2 (n'∈ℤ)で、

このときφ(x₁)=(-1)^n'である。

1=φ(x₁)φ'(x₂)/(1-φ²(x₁)φ²(x₂))=(-1)^n'φ'(x₂)/(1-φ²(x₂))/だから

両辺を2乗して演習問題5(b)を用いて整理すると、

φ(x₂)=0となるので、上の場合に帰着される。

φ(x)=-1なら(15.9)により、x=-(m+in)ϖ/2だから、

-mをm, -nをnと書きなおして同じ表式を得る。

φ(x)=iなら(15.24)によりφ(ix)=-1だから、

x=(-n+im)ϖ/2 (mは奇数、nは偶数)となるので、

mをn, -nをmと書きなおしてx=(m+in)ϖ/2 (mは偶数、nは奇数)。

これよりz=-z₀+(m+in)ϖ (mは偶数、nは奇数)。

φ(x)=-iならx=-(-n+im)ϖ/2だからφ(x)=iと同じ表式が得られる。

これらをまとめると、z=(-1)^m+nz₀+(m+in)ϖ (m+nは奇数)。

以上によりz=(-1)^m+nz₀+(m+in)ϖ (m,n∈ℤ)。