コックス, リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 第3章§4の演習問題その2

演習問題13

t≠0についてはV(F_t)はy=t/xの直角双曲線族（反比例のグラフ）。

t=0ならV(F₀)はx=0またはy=0だからx軸とy軸。

演習問題14

小問a

包絡線は直線で傾きは1だから、x=u, y=u+bとパラメター付けされる。

F(u,u+b,t)=(u-t)²-(u-t)-bは1+4b=0すなわちb=-1/4のときに限り、

[2(u-t)-1]²/4となるので、

すべてのtについてこの直線y=x-1/4は重複度2でF_tと交わる。

したがってはすべてのtについて放物線(x-t)²-y+t=0に接する。

小問b

定義5により包絡線の満たす式は(x-t)²-y+t=0かつ-2(x-t)+1=0。

これらの式からtを消去してx-y-1/4=0となり小問aと同じ結果を得る。

小問c

F(f(t), g(t),t)=0だから(f(t)-t)²-g(t)+t=0 (1)。

包絡線はV(F_t)に接するから、

(f(t),g(t))において包絡線は∇F|_(f(t),g(t))=(2(f(t)-t),-1)と直交するので、

包絡線の(f(t),g(t))での方向ベクトル(f'(t),g'(t))として2(f(t)-t)f'(t)-g'(t)=0 (2)。

(1)をtで微分して2(f(t)-t)(f'(t)-1)-g'(t)+1=0なので、

(2)からg'(t)を消去すれば、-2(f(t)-t)+1=0。これよりf(t)=t+1/2。

さらに(1)よりg(t)=t+1/4と包絡線のパラメター表示を得る。

なおx=f(t), y=g(t)からtを消去して、

包絡線の方程式として直線y=x-1/4を得、小問a,bと一致する。

演習問題15

小問a

略

いやちゃんとやりましたよ

小問b

本文中の<F, ∂F/∂t>のGröbner基底の一つg₅に、

(x,y)=(0,17/4)を代入して135t²-2025/4=135(t²-15/4)を得るのでt=±√15/2。

小問c

Maximaでひと通り準備：

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load("grobner");

F: expand((x-t)^2+(y-t^2)^2-4);

dF: expand(-2*(x-t)-4*t*(y-t^2));

G: poly_reduced_grobner([F,dF],[t,x,y]);

g3: G[1];

g4: G[2];

g1: G[3];

g2: G[4];

g5: G[5];

A2:diff(g2,t);

A3:diff(g3,t);

A4:diff(g4,t);

poly_reduced_grobner([A2,A3,A4],[x,y]);

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この結果から<A₂, A₃, A₄>のGröbner基底は{A₂, A₃, A₄}である。

A₃=x(431-12y-48y²-64y³)だから、x=0は解の一つ。

x=0のときMaximaで

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solve(A2,y);

solve(subst(0,x,A4),y);

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から、A₂, A₄の共通根y=17/4を得るので(12)の解の一つ(0,17/4)を得る。

x≠0なら、

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solve(A2,y);

solve(A3/x,y);

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から、A₂, A₃の共通根y=(-1+6∛2)/4を得る。

これをA₄に代入して解けばx=±√(15+6∛2-12∛4)となり、

問題文の値を得る。

演習問題16

小問a

Maximaで

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load("grobner");

F: expand((x-t)^2+y^2-t^2/2);

poly_reduced_grobner([F,diff(F,t)],[t,x,y]);

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により<F, ∂F/∂t>の簡約Gröbner基底{t-2x,x²-y²}を得る。

Gröbner基底t-2xのtの最高次の係数は定数なので、

拡張定理によりℂにおいてはV(x²-y²)はV(t-2x,x²-y²)に拡張できる。

t-2x=0からx∈ℝならt∈ℝだからℝにおいても拡張できる。

小問b

小問aにより包絡線はx²-y²=0すなわちy=なx。

F=0の式から状況は明らかなので略。

演習問題17

小問a

Maximaで

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load("grobner");

F: expand((x-t)^2+(y-t^2)^2-t^2);

G: poly_reduced_grobner([F,diff(F,t)],[t,x,y]);

g1: expand(G[1]/2);

g2: expand(G[2]/(-2));

g3: expand(G[3]/3);

g4: expand(G[4]/8);

g5: expand(G[5]/(-4));

g6: expand(G[6]/32);

g7: expand(G[7]/(-16));

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により、I=<F, ∂F/∂t>の7つの簡約Gröbner基底を得る：

g₁=t³-ty-x/2,

g₂=t²y+(3/2)tx-x²-y²,

g₃=t²x-(2/3)tx²+(1/3)xy,

g₄=tx³-3txy-(1/2)x²y-(9/8)x²,

g₅=tx²y+(9/4)tx²-(3/2)x³-2xy²,

g₆=txy²+(9/4)txy-(1/2)x⁴-(1/2)x²y²+(3/4)x²y+(27/32)x²,

g₇=x(x⁴+x²y²-(9/2)x²y-(27/16)x²-4y³)。

このうちI₁=<g₇>だから包絡線E⊂V(I₁)。

第1章§2補題2の証明からE⊂V(x)⋃V(x⁴+x²y²-(9/2)x²y-(27/16)x²-4y³)。

小問b

g₁の最高次の係数は1で定数だから、

拡張定理によりV(I₁)はℂ上でV(I)へ拡張できる。

A₄=∂g₄/∂t=x³-3xy,

A₅=∂g₅/∂t=x²y+(9/4)x²,

A₆=∂g₆/∂t=xy²+(9/4)xyとすれば、

V(I₁)∖V(A₄,A₅,A₆)上の点においては、

A₄, A₅,A₆が同時に0になることがないので、

g₄,g₅,g₆がtの1次式であることから、

(x,y)∈V(I₁)⊂ℝ²に対しt∈ℝが一意に決まり、(x,y)∈Eとなって唯一つの円に接する。

V(I₁)⋂V(A₄,A₅,A₆)上の点においては、

g₁がtの3次式であることから高々3つの円に接する。

Maximaで

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A4:diff(g4,t);

A5:diff(g5,t);

A6:diff(g6,t);

poly_reduced_grobner([A4,A5,A6],[x,y]);

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により<A₄,A₅,A₆>の簡約Gröbner基底は{A₄,A₅,A₆}。

A₄=A₅=A₆=0の実数解は(0,a) (a∈ℝ)すなわちV(A₄,A₅,A₆)=V(x)。

これよりV(A₄,A₅,A₆)⋂V(x⁴+x²y²-(9/2)x²y-(27/16)x²-4y³)

=V(x)⋂V(x⁴+x²y²-(9/2)x²y-(27/16)x²-4y³)=(0,0)なので、

V(x⁴+x²y²-(9/2)x²y-(27/16)x²-4y³)上の点のうち、

V(x)にも属する(0,0)以外は唯一つの円に接する。

あとはV(x)上の点について調べればよい。

このときg₃は常に0で、g₂=0からa=0またはt²-a=0。

これよりt∈ℝとなるのはa≥0のとき。

g₁=0からt=0またはt²-a=0。

したがって、a>0のときV(x)上の点(0,a)はt=±√aなる2円に接する。

a=0のときはt=0だけがg₁の根だから、

原点を中心とした半径0の円すなわち(0,0)に「接する」。

以上まとめると、V(I₁)のうち、

ℝ上の包絡線Eに含まれるのは、V(x⁴+x²y²-(9/2)x²y-(27/16)x²-4y³)と、

V(x)すなわちy軸のうちy≥0の部分。

V(x⁴+x²y²-(9/2)x²y-(27/16)x²-4y³)は1つの円（ただし(0,0)も円とみなす）に接し、

V(x)のy>0の部分が2つの円に接する。

演習問題18

演習問題15cから<A₂, A₃, A₄>のGröbner基底は{A₂, A₃, A₄}である。

演習問題15cで計算したg₁, A₂, A₃, A₄から、Maximaで

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poly_grobner_member(g1,[A2,A3,A4],[x,y]);

poly_grobner_member(diff(g1,x),[A2,A3,A4],[x,y]);

poly_grobner_member(diff(g1,y),[A2,A3,A4],[x,y]);

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はすべてtrueを返すので、g₁, ∂g₁/∂x, ∂g₁/∂y∈<A₂, A₃, A₄>。

また、

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GG:poly_reduced_grobner([g1,diff(g1,x),diff(g1,y)],[x,y]);

poly_grobner_member(A2^2,GG,[x,y]);

poly_grobner_member(A3^2,GG,[x,y]);

poly_grobner_member(A4^2,GG,[x,y]);

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のpoly_grobner_memberがすべてtrueを返すので、

A₂²,A₃²,A₄²∈<g₁, ∂g₁/∂x, ∂g₁/∂y>。

以上により(14)が証明された。

演習問題19

小問a

明らかなので略。

小問b

Maximaで

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F:(x-t)^2+y^2-1;

dF: diff(F,t);

G:poly_reduced_grobner([F,dF],[t,x,y]);

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により、I=<F,∂F/∂t>の簡約Gröbner基底は{y²-1,t-x}となり、

I₁=<y²-1>。

求める包絡線をE⊂ℝ²とする。

tの最高次の係数は1で定数だから、

拡張定理によりV(I₁) ⊂ℝ²はℂ上ではV(I)へ拡張できるからE⊂V(I₁)。

t-xがtの1次式であることから、

(x,y)∈V(I₁)⊂ℝ²に対しt∈ℝが一意に決まるから(x,y)∈EとなるのでV(I₁)⊂E、

故にE=V(I₁)となり小問aと一致する。

小問c

Maximaで

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F:(x-t^3)^2+y^2-1;

dF: diff(F,t);

G:poly_reduced_grobner([F,dF],[t,x,y]);

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により、I=<F,∂F/∂t>の簡約Gröbner基底は、

{t⁵-t²x, t³x-x²-y²+1, t²y²-t², x²y²-x²+y⁴-2y²+1}となり、

I₁=<x²y²-x²+y⁴-2y²+1>=<(y-1)(y+1)(x²+y²-1)>。

これよりV(I₁) =V(y-1)⋃V(y+1)⋃V(x²+y²-1)=V(y-1)⋃V(y+1)⋃V(F₀)。

求める包絡線をE⊂ℝ²とする。

Iの簡約Gröbner基底の、t⁵の最高次の係数は1で定数だから、

拡張定理によりV(I₁)⊂ℝ²はℂ上ではV(I)へ拡張できるからE⊂V(I₁)。

(x,y)∈V(y-1)⋃V(y+1)=V(y²-1)⊂ℝ²のとき、

t³x-x²-y²+1=t³x-x²=x(t³-x)=0よりx=0またはt³-x=0。

x≠0ならt³-x=0となるt∈ℝが決まるので、(x,y)∈E。

x=0ならt⁵-t²x=t⁵=0よりt=0∈ℝとなるので(x,y)∈E。

したがっていずれにせよ(x,y)∈E。

(x,y)∈V(F₀)⊂ℝ²ならt³x-x²-y²+1=t³x=0よりx=0またはt=0。

t=0∈ℝなら(x,y)∈E。

またx=0ならF₀=0からy²-1=0で、t⁵-t²x=t⁵=0からt=0∈ℝとなるので(x,y)∈E。

したがっていずれにせよ(x,y)∈E。

以上によりV(I₁)⊂EだからE=V(I₁)となり、包絡線はV(F₀)を含む。

この振る舞いからすると、包絡線をちゃんと扱うには少なくとも、

∂²F/∂t²の情報を入れる必要がありそうだなー。

演習問題20

小問a

ℝ³においてF=∂F/∂x=∂F/∂y=0の連立方程式を、

§1で記述されたように解いて解のtを求めればよい。

小問b

F=xy-tとして、Maximaで

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F:x*y-t;

dFx: diff(F,x);

dFy: diff(F,y);

G:poly_reduced_grobner([F,dFx,dFy],[t,x,y]);

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により<F,∂F/∂x,∂F/∂y>=<x,y,t>を得るから、

F₀だけが(0,0)において特異点を持つ。

実際V(F₀)は演習問題13で示されたようにx軸とy軸だから、

(0,0)でV(F₀)の曲線は交叉する。