コックス, リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 第1章§5の演習問題

演習問題1

系3の証明においてkが代数的閉なら、

a∈kがfの根である場合が常に成り立つので明らか。

演習問題2

ヒントがほぼまんまだが、

Van der Monde行列式が0なら、Van der Monde行列の列ベクトルは線型従属だから、

あるc₀,...,c_n∈kが存在して

c₀ ^t(1,...,1)+c₁ ^t(a₁,...,a_n)+c₂ ^t(a₁²,...,a_n²)+...+ c_n-1 ^t(a₁^n-1,...,a_n^n-1)

= ^t(c₀+c₁a₁+c₂a₁²+...+c_n-1a₁^n-1, c₀+c₁a₂+c₂a₂²+...+c_n-1a₂^n-1,..., c₀+c₁a_n+c₂a_n²+...+c_n-1a_n^n-1)

=0

だから、n-1次多項式c₀+c₁x+c₂x²+...+c_n-1x^n-1が、

a₁,...,a_nの異なるn個の根を持つことになり系3と矛盾。

演習問題3

I=<x,y>が主イデアルと仮定すると、あるf∈k[x,y]についてI=<f>。

x∈Iだからあるg∈k[x,y]が存在してx=fgだが、

deg(x)=1だからdeg(f)=0またはdeg(g)=0。

deg(f)=0ならfはkの0でない定数だが、

kの定数はI=<x,y>の元ではないのでこれはありえない。

したがってdeg(g)=0なのでgはkの0でない定数となりf=g^-1x。

するとI=<f>=<x>∌yだからy∈I=<x,y>と矛盾。

演習問題4

GCD(f,g)=h∈k（fとgが互いに素）な場合については、

Af+Bg=1となるA,B∈k[x]が存在することは、

k[x]におけるEuclidのアルゴリズムを用いて

コックス「ガロワ理論」3.1節演習問題5で示した。

deg(h)>0のとき、f=f'h, g=g'hとおけば、

GCD(f',g')=1だからAf'+Bg'=1となるA,B∈k[x]が存在するので、

両辺にhをかけてAf+Bg=h。

演習問題5

明らかにf-qg∈<f,g>だから§4演習問題2により<f-qg,g>⊂<f,g>

f=(f-qg)+qg∈<f-qg,g>だから同様に<f,g>⊂<f-qg,g>。

よって<f,g>=<f-qg,g>。

演習問題6

<h>=<f₂,...,f_s>よりh∈<f₂,...,f_s>だから<f₁,h>⊂<f₁,...,f_s>。

2≤i≤sについて定義7によりf_i=q_ih∈<h> (q_i∈k[x])だから<f₁,...,f_s>⊂<f₁,h>。

よって<f₁,...,f_s>=<f₁,h>。

演習問題7

(6)を再帰的に使えば良い。

演習問題8

小問a

Maximaで

gcd(x^4+x^2+1,x^4-x^2-2*x-1, x^3-1);

としてx²+x+1。

小問b

Maximaで

gcd(x^3+2*x^2-1-2,x^3-2*x^2-x+2,x^3-x^2^4*x+4);

としてx-1。

演習問題9

Maximaで

gcd(x^3+x^2-4*x-4,x^3-x^2-4*x+4,x^3-2*x^2-x+2);

からGCD(x³+x²-4x-4, x³-x²-4x+4, x³-2x²-x+2)=x²-4を得るので

x²-4∈<x²-4>=<x³+x²-4x-4, x³-x²-4x+4, x³-2x²-x+2>。

演習問題10

整数論で一次不定方程式を解くやり方と同じ。

演習問題11

小問a

ℂは代数的閉だから演習問題1によりfは重根を含めdeg(f)個の根を持つ。

したがってV(f)=∅ならdeg(f)=0だからfは0でない定数。逆は明らか。

小問b

ℂは代数的閉だから、f₁,...,f_sに共通根が存在しないことと、

V(f₁,...,f_s)=∅であることは同値。

f₁,...,f_sに共通根が存在しないこととGCD(f₁,...,f_s)=1は同値。

（§4の定義5できちんと触れられていないが、

この問題や§4の命題8などとの整合性を考えると

V=∅ならI(V)=k[x₁,...,x_n]と定義するのが良いように思われる。）

小問c

GCD(f₁,...,f_s)を命題8(iii)を再帰的に用いて求めている間に、

いずれかの時点でGCDが1になればGCD(f₁,...,f_s)=1としてよいから、

小問bによりV(f₁,...,f_s)=∅となる。

最後までGCDが1にならなければV(f₁,...,f_s)≠∅。

演習問題12~14

コックス「ガロワ理論」の方でやったのでパス。

演習問題15

小問a

コックス「ガロワ理論」の方でやったのでパス。

小問b

Maximaで

f:x^11-x^10+2*x^8-4*x^7+3*x^5-3*x^4+x^3+3*x^2-x-1;

ratsimp(f/gcd(f,diff(f,x)));

によりf_red=x⁵+x²-x-1。

演習問題16

演習問題11cと同様に<f₁,...,f_s>の基底を計算して、

演習問題15aのf_redを求めればよい。

演習問題17

Maximaで

f:gcd(x^5-2*x^4+2*x^2-x,x^5-x^4-2*x^3+2*x^2+x-1);

ratsimp(f/gcd(f,diff(f,x)));

により基底はx²-1。

コックス, リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 第1章§4の演習問題

演習問題1

x²(x²+y²-1)-(xy+1)(xy-1)=x⁴-x²+1∈<x²+y²-1, xy-1>

演習問題2

(ii)⇒(i)はf_i∈<f₁,..., f_s>から(1≤i≤s)。

(i)⇒(ii)はイデアルの定義から明らか。

演習問題3

小問a

x+y, x-y∈<x,y>だから演習問題2により<x+y,x-y>⊂<x,y>。

kの標数が2でなければ、

x=2^-1(x+y)+2^-1(x-y)∈<x+y,x-y>, y=2^-1(x+y)-2^-1(x-y)∈<x+y,x-y>,

だから演習問題2により<x,y>⊂<x+y,x-y>。

以上により<x,y>=<x+y,x-y>。

kの標数が2だと<x+y,x-y>=<x+y>でたぶんムリ。

小問b

x+xy=1·x+x·y∈<x,y>, y+xy=y·x+1·y∈<x,y>,

x²=x·x∈<x,y>, y²=y·y∈<x,y>により<x+xy, y+xy, x², y²>⊂<x,y>。

kの標数が2でなければ、

1·(x+xy)-1·(y+xy)=x-y∈<x+xy, y+xy, x², y²>と、

1·(x+xy)+1·(y+xy)=x+y+2xy∈<x+xy, y+xy, x², y²>,

2^-1y·(x+xy)+2^-1x·(y+xy)-2^-1y·x²-2^-1x·y²=xy∈<x+xy, y+xy, x², y²>より

(x+y+2xy)-2·xy=x+y∈<x+xy, y+xy, x², y²>だから、

小問aと演習問題2より<x,y>=<x+y,x-y>⊂<x+xy, y+xy, x², y²>。

したがって<x,y>=<x+xy, y+xy, x², y²>。

kの標数が2だとたぶんムリ。

小問c

2(x²-4)+3(y²-1)=2x²+3y²-11, (x²-4)-(y²-1)=x²-y²-3だから

<2x²+3y²-11, x²-y²-3>⊂<x²-4, y²-1>。

kの標数が5でなければ、

5^-1·(2x²+3y²-11)+5^-1·3(x²-y²-3)=x²-4∈<2x²+3y²-11, x²-y²-3>

5^-1·(2x²+3y²-11)-5^-1·2(x²-y²-3)=y²-1∈<2x²+3y²-11, x²-y²-3>

より<x²-4, y²-1>⊂<2x²+3y²-11, x²-y²-3>。

したがって<x²-4, y²-1>=<2x²+3y²-11, x²-y²-3>。

kの標数が5だとたぶんムリ。

演習問題4

1≤i≤tに対しg_i∈< f₁,..., f_s>なので、

f₁,..., f_sが全て消える(a₁,..., a_n)に対しg₁,..., g_tも全て消えるから

V(f₁,..., f_s) ⊂V(g₁,..., g_t)。逆の包含関係も同様。

演習問題5

命題4と演習問題3bにより明らか。

演習問題6

小問a

Iの要素の次数はいくらでも大きくなるので、

Iのk上のベクトル空間としての基底も無限に必要。

小問b

0=y·x+(-x)·y∈<x,y>

小問c

0=f_j·f_i+(-f_i)·f_j

小問d

x²+xy+y²=(x+y)x+y·y=x·x+(x+y)y

小問e

x+x²-x²=x∈<x+x², x²>また明らかにx+x²,x²∈<x>だから、

演習問題2により<x+x², x²>=<x>だが、

x+x²∉<x²>, x²∉<x+x²>だから、<x+x², x²>は<x>の極小基底。

線形空間では基底の数は、

基底のとり方によらず次元で決まっていたのと異なる。

演習問題7

V(xⁿ, y^m)={(0,0)}である。

補題6の次のところの例でI({0,0})=<x,y>が示されている。

演習問題8

小問a

f∈I(V)なら明らかに任意の正整数mについて、

f^mはV上で消えるからf^m∈I(V)。

逆にある正整数mについてf^m∈I(V)なら、

V上の任意の点(a₁,...,a_n)でf(a₁,...,a_n)^m=0。

f∈k[x₁,...,x_n]でkは体だから整域なので、

f(a₁,...,a_n)=0でなければならないのでf∈I(V)。

したがってI(V)は根基。

小問b

(x)²∈<x², y²>だがx∉<x², y²>だから<x², y²>は根基でない。

演習問題9

小問a

捩れ3次曲線のパラメタ付けx=t, y=t², z=t³より

y²-xz=t⁴-t⁴=0だからy²-xz∈I(V)。

小問b

(2)式以下の議論により、

y²-xz=[x²+(y-x²)]²-x[x³+(z-x³)]=(x²+y)(y-x²)-x(z-x³)。

演習問題10

V(x-y)のパラメタ付けx=t, y=tより

f∈<x-y>なら明らかにfはV(x-y)上消えるからf∈I(V(x-y))

逆にらf∈I(V(x-y))なら、(2)式以下と同様の議論により、

h∈k[x,y], r∈k[x]が存在してf(x,y)=h(y-x)+rで、

0=f(t,t)=r(t)が任意のt∈kについて成り立つからrは零函数。

kは無限体だから第1章§1命題5によりrは零多項式なのでf(x,y)=h(y-x)∈<x-y>。

したがってI(V(x-y))=<x-y>。

演習問題11

V=V(y-x³,z-x⁴)でアフィン多様体。

捩れ3次曲線と同様の議論によりI(V(y-x³,z-x⁴))=<y-x³,z-x⁴>。

演習問題12

V=V(y²-x³,z-x²)でアフィン多様体。

確かに容易ではない・・・。

演習問題13

小問a

x,y=1または0に対しx²-x, y²-yは0となるから、

x²-x, y²-y∈I。故に演習問題2により<x²-x,y²-y>⊂I。

小問b

F₂は可換な体なので可換環だから、任意のp,h∈F₂[x]

(deg(p)≥deg(h))についてp=qh+rとなるq,r∈F₂[x] (deg(r)<deg(h))が一意に存在する。

故にf=∑_{0≤i≤deg(f)} p_iyⁱ (p_i∈F₂[x])とすれば、

p_i=h_i(x²-x)+a_ix+b_i,h_i∈F₂[x], a_i,b_i∈F₂と書けるのでf=A(x²-x)+q₁x+q₂。

ただしA=∑_{0≤i≤deg(f)} h_iyⁱ∈F₂[x,y], q₁=∑_{0≤i≤deg(f)} a_iyⁱ∈F₂[y], q₂=∑_{0≤i≤deg(f)} b_iyⁱ。

さらにq₁=g₁(y²-y)+ay+b, q₂=g₂(y²-y)+cy+d

 (g₁,g₂∈F₂[y], a, b, c, d∈F₂)と書けるから、

B=xg₁+g₂∈F₂[x,y]とすればf=A(x²-x)+B(y²-y)+axy+bx+cy+d。

小問c,d

a=b=c=d=0なら明らかにf(x,y)∈I。

逆にf(x,y)∈Iならf(0,0)=0なのでd=0、

するとf(1,0)=0からb=0、f(0,1)=0からc=0、f(1,1)=0からa=0を得る。

故にf(x,y)∈Iとf=A(x²-x)+B(y²-y)∈<x²-x,y²-y>は同値だからI=<x²-x,y²-y>。

小問e

y(x²-x)+x(y²-y)=x²y+xy²-xy-xy=x²y+xy²。

演習問題14

小問a

V=WならV⊂WかつV⊃Wだから、

命題8(i)によりI(V)⊂I(W)かつI(V)⊃I(W)となりI(V)=I(W)。逆も同様。

小問b

命題8(ii)よりV≠WとI(V)≠I(W)は同値だから、

命題8(i)によりV⊊WとI(V)⊋I(W)は同値。

演習問題15

小問a

補題6の証明と同様。

小問b

Xは(1,1)を含まないから単にI(X)=<x-y>。

小問c

第1章§1演習問題6aによりI(ℤⁿ)={0}。

コックス、リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 演習問題の解答例

• 第1章§3
• 第1章§4
• 第1章§5
• 第2章§1
• 第2章§2
• 第2章§3
• 第2章§4
• 第2章§5
• 第2章§6
• 第2章§7
• 第2章§8
• 第3章§1
• 第3章§2
• 第3章§3
• 第3章§4　演習問題1～12、演習問題13～20
• 第4章§1
• 第4章§2
• 第4章§3

コックス, リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 第1章§3の演習問題

演習問題9

小問a.

(a-x)y²=x²(a+x)

小問b.

演習問題8と同様にして

x=a(t²-1)/(t²+1)

y=at(t²-1)/(t²+1)

Maximaで計算すると(a=1)

wxplot2d([['parametric, (t^2-1)/(t^2+1), t*(t^2-1)/(t^2+1), [t, -3, 3], [nticks, 300]]], [x,-5,5])$

演習問題10

小問a.

y=m(x-a)との交点を考えて

x=-a(m²-1)/(m²+1)

y=-2am³/(m²+1)

Maximaで計算すると(a=1)

wxplot2d([['parametric, -(m^2-1)/(m^2+1), -2*m^3/(m^2+1), [m, -6, 6], [nticks, 300]]], [x,-5,5])$

小問b,cはまんま。

演習問題11は演習問題8がほぼまんま。

演習問題12

小問a. b.

(t, t², t⁴)

Maximaではplot3d([t,t^2,t^4],[s,0,1],[t,-2,2]);

小問c.

^t(x,y,z)= ^t(t, t², t⁴)+u ^t(1, 2t, 4t³)

Maximaではplot3d([t+u,t^2+2*u*t,t^4+4*u*t^3],[u,-2,2],[t,-2,2]);

演習問題13

a= ^t(1,0,-1), b= ^t(1,1,-1), c= ^t(-1,2,1)として

問題の平面の方程式は(a-x)·(b×c)=0

b×c= ^t(3,0,3)=3 ^t(1,0,1)を用いて整理して、平面の方程式はz=-x

演習問題14

小問a

tP+(1-t)Q=Q+t(P-Q)は線分PQ上の点だから、

Cが凸集合であることによりtP+(1-t)Q∈C。

小問b

小問aにより、n=2についてt=t₁, 1-t=t₂とすれば成立。

∑_1≤i≤n t_i=1ならQ_n=∑_1≤i≤n t_iP_i∈Cがn=kで成立したとし、

n=k+1のときのQ_k+1=∑_1≤i≤k+1 t_iP_iを考える。

t=∑_1≤i≤k t_iとするとt_k+1=1-t。

t=1ならt_k+1=0だからQ_k+1=Q_k∈Cで成立。

0≤t<1については、帰納法の仮定によりQ_k/t∈Cだから、

小問aと同様にC∋t(Q_k/t)+(1-t)P_k+1=Q_k+t_k+1P_k+1=Q_k+1となり成立

以上によりn=k+1でも成立。

演習問題15は制御多角形が凸多角形なら演習問題14がまんま。

凸多角形でないときはIllustratorとかでもややこしい曲線になる。

演習問題16

小問a

分母=-2(w-1)t²+2(w-1)t+1で、この判別式はw²-1だから、

0≤ w<1なら分母が0となるtは存在しない。

w=1のときは分母=1≠0。

w>1のとき分母=0の解はt={1±√[(w+1)/(w-1)]}/2で、

w>1のときこの解は0≤t≤1を満たさない。

小問b

t=0のときx=x₁, y=y₁

t=1のときx=x₃, y=y₃

小問c

x'(0)=2w(x₂-x₁)

x'(1)=2w(x₃-x₂)

y'(0)=2w(y₂-y₁)

y'(1)=2w(y₃-y₂)

だから(x₁, y₁)を通る傾きy'(0)/x'(0)の直線はy-y₁=(x-x₁)(y₂-y₁)/(x₂-x₁)、

(x₃, y₃)を通る傾きy'(1)/x'(1)の直線はy-y₃=(x-x₃)(y₃-y₂)/(x₃-x₂)。

これより、これら2つの直線のの交点が(x₂,y₂)となることは明らか。

小問d

制御多角形は三角形なので凸集合だから、

演習問題14により曲線は制御多角形内にある。

小問e,f

^t(x(1/2), y(1/2))は素直に計算するだけ。

すなわち^t(x(1/2), y(1/2))は、(x₂, y₂)と、

(^t(x₁, y₁)+ ^t(x₃, y₃))/2すなわち(x₁, y₁)と(x₃, y₃)を結ぶ線分の中点を結ぶ線分を、

1:wに内分する点の位置ベクトル。

演習問題17

w=(1-√2/2)/(√2-1)=1/√2,

^t(x₁, y₁)=^t(1,0), ^t(x₂, y₂)=^t(1,1), ^t(x₃, y₃)=^t(0,1)より、

x=[(1-t)²+√2t(1-t)]/[1+√2(1-√2)t(1-t)]

y=[t²+√2t(1-t)]/[1+√2(1-√2)t(1-t)]。

Maximaでは

w: 1/sqrt(2);

d: 1+2*t*(1-t)*(w-1);

nx: (1-t)^2+2*t*(1-t)*w;

ny: 2*t*(1-t)*w+t^2;

wxplot2d([['parametric, nx/d, ny/d, [t, 0, 1],

[nticks, 300]]],[x,0,1], [y,0,1],

[gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set zeroaxis;"])$