コックス, リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 第1章§5の演習問題

演習問題1

系3の証明においてkが代数的閉なら、

a∈kがfの根である場合が常に成り立つので明らか。

演習問題2

ヒントがほぼまんまだが、

Van der Monde行列式が0なら、Van der Monde行列の列ベクトルは線型従属だから、

あるc₀,...,c_n∈kが存在して

c₀ ^t(1,...,1)+c₁ ^t(a₁,...,a_n)+c₂ ^t(a₁²,...,a_n²)+...+ c_n-1 ^t(a₁^n-1,...,a_n^n-1)

= ^t(c₀+c₁a₁+c₂a₁²+...+c_n-1a₁^n-1, c₀+c₁a₂+c₂a₂²+...+c_n-1a₂^n-1,..., c₀+c₁a_n+c₂a_n²+...+c_n-1a_n^n-1)

=0

だから、n-1次多項式c₀+c₁x+c₂x²+...+c_n-1x^n-1が、

a₁,...,a_nの異なるn個の根を持つことになり系3と矛盾。

演習問題3

I=<x,y>が主イデアルと仮定すると、あるf∈k[x,y]についてI=<f>。

x∈Iだからあるg∈k[x,y]が存在してx=fgだが、

deg(x)=1だからdeg(f)=0またはdeg(g)=0。

deg(f)=0ならfはkの0でない定数だが、

kの定数はI=<x,y>の元ではないのでこれはありえない。

したがってdeg(g)=0なのでgはkの0でない定数となりf=g^-1x。

するとI=<f>=<x>∌yだからy∈I=<x,y>と矛盾。

演習問題4

GCD(f,g)=h∈k（fとgが互いに素）な場合については、

Af+Bg=1となるA,B∈k[x]が存在することは、

k[x]におけるEuclidのアルゴリズムを用いて

コックス「ガロワ理論」3.1節演習問題5で示した。

deg(h)>0のとき、f=f'h, g=g'hとおけば、

GCD(f',g')=1だからAf'+Bg'=1となるA,B∈k[x]が存在するので、

両辺にhをかけてAf+Bg=h。

演習問題5

明らかにf-qg∈<f,g>だから§4演習問題2により<f-qg,g>⊂<f,g>

f=(f-qg)+qg∈<f-qg,g>だから同様に<f,g>⊂<f-qg,g>。

よって<f,g>=<f-qg,g>。

演習問題6

<h>=<f₂,...,f_s>よりh∈<f₂,...,f_s>だから<f₁,h>⊂<f₁,...,f_s>。

2≤i≤sについて定義7によりf_i=q_ih∈<h> (q_i∈k[x])だから<f₁,...,f_s>⊂<f₁,h>。

よって<f₁,...,f_s>=<f₁,h>。

演習問題7

(6)を再帰的に使えば良い。

演習問題8

小問a

Maximaで

gcd(x^4+x^2+1,x^4-x^2-2*x-1, x^3-1);

としてx²+x+1。

小問b

Maximaで

gcd(x^3+2*x^2-1-2,x^3-2*x^2-x+2,x^3-x^2^4*x+4);

としてx-1。

演習問題9

Maximaで

gcd(x^3+x^2-4*x-4,x^3-x^2-4*x+4,x^3-2*x^2-x+2);

からGCD(x³+x²-4x-4, x³-x²-4x+4, x³-2x²-x+2)=x²-4を得るので

x²-4∈<x²-4>=<x³+x²-4x-4, x³-x²-4x+4, x³-2x²-x+2>。

演習問題10

整数論で一次不定方程式を解くやり方と同じ。

演習問題11

小問a

ℂは代数的閉だから演習問題1によりfは重根を含めdeg(f)個の根を持つ。

したがってV(f)=∅ならdeg(f)=0だからfは0でない定数。逆は明らか。

小問b

ℂは代数的閉だから、f₁,...,f_sに共通根が存在しないことと、

V(f₁,...,f_s)=∅であることは同値。

f₁,...,f_sに共通根が存在しないこととGCD(f₁,...,f_s)=1は同値。

（§4の定義5できちんと触れられていないが、

この問題や§4の命題8などとの整合性を考えると

V=∅ならI(V)=k[x₁,...,x_n]と定義するのが良いように思われる。）

小問c

GCD(f₁,...,f_s)を命題8(iii)を再帰的に用いて求めている間に、

いずれかの時点でGCDが1になればGCD(f₁,...,f_s)=1としてよいから、

小問bによりV(f₁,...,f_s)=∅となる。

最後までGCDが1にならなければV(f₁,...,f_s)≠∅。

演習問題12~14

コックス「ガロワ理論」の方でやったのでパス。

演習問題15

小問a

コックス「ガロワ理論」の方でやったのでパス。

小問b

Maximaで

f:x^11-x^10+2*x^8-4*x^7+3*x^5-3*x^4+x^3+3*x^2-x-1;

ratsimp(f/gcd(f,diff(f,x)));

によりf_red=x⁵+x²-x-1。

演習問題16

演習問題11cと同様に<f₁,...,f_s>の基底を計算して、

演習問題15aのf_redを求めればよい。

演習問題17

Maximaで

f:gcd(x^5-2*x^4+2*x^2-x,x^5-x^4-2*x^3+2*x^2+x-1);

ratsimp(f/gcd(f,diff(f,x)));

により基底はx²-1。