コックス, リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 第1章§3の演習問題

演習問題9

小問a.

(a-x)y²=x²(a+x)

小問b.

演習問題8と同様にして

x=a(t²-1)/(t²+1)

y=at(t²-1)/(t²+1)

Maximaで計算すると(a=1)

wxplot2d([['parametric, (t^2-1)/(t^2+1), t*(t^2-1)/(t^2+1), [t, -3, 3], [nticks, 300]]], [x,-5,5])$

演習問題10

小問a.

y=m(x-a)との交点を考えて

x=-a(m²-1)/(m²+1)

y=-2am³/(m²+1)

Maximaで計算すると(a=1)

wxplot2d([['parametric, -(m^2-1)/(m^2+1), -2*m^3/(m^2+1), [m, -6, 6], [nticks, 300]]], [x,-5,5])$

小問b,cはまんま。

演習問題11は演習問題8がほぼまんま。

演習問題12

小問a. b.

(t, t², t⁴)

Maximaではplot3d([t,t^2,t^4],[s,0,1],[t,-2,2]);

小問c.

^t(x,y,z)= ^t(t, t², t⁴)+u ^t(1, 2t, 4t³)

Maximaではplot3d([t+u,t^2+2*u*t,t^4+4*u*t^3],[u,-2,2],[t,-2,2]);

演習問題13

a= ^t(1,0,-1), b= ^t(1,1,-1), c= ^t(-1,2,1)として

問題の平面の方程式は(a-x)·(b×c)=0

b×c= ^t(3,0,3)=3 ^t(1,0,1)を用いて整理して、平面の方程式はz=-x

演習問題14

小問a

tP+(1-t)Q=Q+t(P-Q)は線分PQ上の点だから、

Cが凸集合であることによりtP+(1-t)Q∈C。

小問b

小問aにより、n=2についてt=t₁, 1-t=t₂とすれば成立。

∑_1≤i≤n t_i=1ならQ_n=∑_1≤i≤n t_iP_i∈Cがn=kで成立したとし、

n=k+1のときのQ_k+1=∑_1≤i≤k+1 t_iP_iを考える。

t=∑_1≤i≤k t_iとするとt_k+1=1-t。

t=1ならt_k+1=0だからQ_k+1=Q_k∈Cで成立。

0≤t<1については、帰納法の仮定によりQ_k/t∈Cだから、

小問aと同様にC∋t(Q_k/t)+(1-t)P_k+1=Q_k+t_k+1P_k+1=Q_k+1となり成立

以上によりn=k+1でも成立。

演習問題15は制御多角形が凸多角形なら演習問題14がまんま。

凸多角形でないときはIllustratorとかでもややこしい曲線になる。

演習問題16

小問a

分母=-2(w-1)t²+2(w-1)t+1で、この判別式はw²-1だから、

0≤ w<1なら分母が0となるtは存在しない。

w=1のときは分母=1≠0。

w>1のとき分母=0の解はt={1±√[(w+1)/(w-1)]}/2で、

w>1のときこの解は0≤t≤1を満たさない。

小問b

t=0のときx=x₁, y=y₁

t=1のときx=x₃, y=y₃

小問c

x'(0)=2w(x₂-x₁)

x'(1)=2w(x₃-x₂)

y'(0)=2w(y₂-y₁)

y'(1)=2w(y₃-y₂)

だから(x₁, y₁)を通る傾きy'(0)/x'(0)の直線はy-y₁=(x-x₁)(y₂-y₁)/(x₂-x₁)、

(x₃, y₃)を通る傾きy'(1)/x'(1)の直線はy-y₃=(x-x₃)(y₃-y₂)/(x₃-x₂)。

これより、これら2つの直線のの交点が(x₂,y₂)となることは明らか。

小問d

制御多角形は三角形なので凸集合だから、

演習問題14により曲線は制御多角形内にある。

小問e,f

^t(x(1/2), y(1/2))は素直に計算するだけ。

すなわち^t(x(1/2), y(1/2))は、(x₂, y₂)と、

(^t(x₁, y₁)+ ^t(x₃, y₃))/2すなわち(x₁, y₁)と(x₃, y₃)を結ぶ線分の中点を結ぶ線分を、

1:wに内分する点の位置ベクトル。

演習問題17

w=(1-√2/2)/(√2-1)=1/√2,

^t(x₁, y₁)=^t(1,0), ^t(x₂, y₂)=^t(1,1), ^t(x₃, y₃)=^t(0,1)より、

x=[(1-t)²+√2t(1-t)]/[1+√2(1-√2)t(1-t)]

y=[t²+√2t(1-t)]/[1+√2(1-√2)t(1-t)]。

Maximaでは

w: 1/sqrt(2);

d: 1+2*t*(1-t)*(w-1);

nx: (1-t)^2+2*t*(1-t)*w;

ny: 2*t*(1-t)*w+t^2;

wxplot2d([['parametric, nx/d, ny/d, [t, 0, 1],

[nticks, 300]]],[x,0,1], [y,0,1],

[gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set zeroaxis;"])$