コックス「ガロワ理論」 7.5節の演習問題3

演習問題13

例7.5.6と同様に、σ: ℂ(t)→ℂ(t) (α(t)→α(ζ_nt))とすると、

明らかにtⁿはσで不変だからℂ(tⁿ)⊂L_G。

定理7.5.3(a)(b)により、L_G⊂ℂ(t)はGalois拡大で[ℂ(t):L_G]=|G|=n。

一方命題7.5.5により[ℂ(t):ℂ(tⁿ)]=nだから、[L_G:ℂ(tⁿ)]=1となるので、

補題4.3.3によりL_G=ℂ(tⁿ)。よって定理7.5.3(c)により、Gal(ℂ(t)/ℂ(tⁿ))=G≃C_n。

演習問題14

(a)

o(σ)=o(τ)=2である。

στ(α(t))=α(1-t^-1)より、(στ)²(α(t))=α((1-t)^-1), (στ)³(α(t))=α(t)だから<στ>≃C₃。

 (στ)^i-1(α(t))=α_i(t) (i=1,2,3)とすると、添字の置換について<στ>≃<(123)>。

またτσ(α(t))=α₃(t), (τσ)²(α(t))=α₂(t),よりτσ=(στ)^-1, <τσ>≃<(132)>。

するとτ^-1(στ)τ=τσ=(στ)^-1だから、<σ,τ>は位数2o(στ)=6の二面体群。

すなわち<σ,τ>=<στ,τ>≃D₆≃S₃。

(b)

(a)によりG=<σ,τ>はF(t)の自己同型のなす有限群だから、

定理7.5.3よりL_G⊂F(t)は6次のGalois拡大でG=Gal(F(t)/L_G)。

Gは明らかにF上恒等だから、GはGal(F(t)/F)の部分群である。

定理7.5.7とPGL(2,F)の定義からPGL(2,F)≃Gal(F(t)/F)なので、

σ,τが一次分数変換であることから、

PGL(2,F)の部分群Pが存在してP≃G=<σ,τ>≃S₃。

γ=((1,0),(1,0))とするとσ_γ^-1=σ, δ=((-1,1),(0,1))とするとσ_δ^-1=τなので、P=<[γ],[δ]>。

[γ]·0=∞, [γ]·1=1, [γ]·∞=0また[δ]·0=1, [δ]·1=0, [δ]·∞=∞だから、

Pは{0,1,∞}をそれ自身に移し、命題7.5.8により[γ],[δ]は一意。

逆に{0,1,∞}をそれ自身に移すPGL(2,F)の部分群Qは、

0,1,∞の3要素の任意の置換と同型だから、Q≃S₃≃P≃G。

したがって、Gは{0,1,∞}をそれ自身に移す元全体からなる、

PGL(2,F)の部分群と同型。

S₃のもとになる、置換される3要素は、こんな奥深くに隠れてるのね・・・。

(c)

f(t)=(t²-t+1)³/[t²(t-1)²]とすると、σ(f(t))=f(t), τ(f(t))=f(t)なのでF(f(t))⊂L_G。

(b)よりL_G⊂F(t)は6次のGalois拡大なので [F(t):L_G]=6。

命題7.5.5(c)により[F(t):F(f(t))]=6なので、

体拡大F(f(t))⊂L_G⊂F(t)に定理4.3.8（塔定理）を適用して

6=[F(t):F(f(t))]=[F(t):L_G][L_G:F(f(t))]=6[L_G:F(f(t))]だから[L_G:F(f(t))]=1。

したがって補題4.3.3によりF(f(t))=L_Gだから、

F(f(t))⊂F(t)はGalois拡大で(a)によりG=Gal(F(t)/F(f(t)))≃S₃。