コックス「ガロワ理論」 13.4節の演習問題

演習問題1

例13.4.1でt₂=1はt₂=-1の誤植。

S₃={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}より、Maximaのバッチファイル

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t1:1;t2:-1;t3:2;

s1:y-(t1*x1+t2*x2+t3*x3);

s2:psubst([x1=x2,x2=x1],s1);

s3:psubst([x1=x3,x3=x1],s1);

s4:psubst([x2=x3,x3=x2],s1);

s5:psubst([x1=x2,x2=x3,x3=x1],s1);

s6:psubst([x1=x3,x3=x2,x2=x1],s1);

S:s1*s2*s3*s4*s5*s6;

Ss:ratsimp(elem([3],S,[x1,x2,x3])),elem:2;

s:subst([e1=-1,e2=-2,e3=1],Ss);

ss:factor(s);

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を用いて、SsでS(y)が、sとssでs(y)が確かめられる。

演習問題2

問題文のKはFの誤植だろう。

(13.32)はα₁,..., α_nについて対称だから、

定理2.2.2と 系2.1.5によりs_u(y)∈F[u₁,...,u_n,y]

演習問題3

(a)

与式は各u₁,...,u_n,yについて1次だから既約。

(b)

（L[u₁,...,u_n,y]はPIDではないので、Euclid整域でないから、

割り算アルゴリズムは一意ではないので使えない）。

h=gqだからL[u₁,...,u_n,y]においてh∈<g>である。

F[u₁,...,u_n,y]においてh∉<g>だったとすると、

F[u₁,...,u_n,y]でh=gq₁+r₁なるq₁,r₁∈F[u₁,...,u_n,y], r₁∉<g>が存在して、

r₁は0でない。

ところがF[u₁,...,u_n,y]はL[u₁,...,u_n,y]の部分環だから、

L[u₁,...,u_n,y]でもh=gq₁+r₁となり、

L[u₁,...,u_n,y]においてh∉<g>となるので矛盾。

したがって、F[u₁,...,u_n,y]においてもh∈<g>だから、

0でないq₂∈F[u₁,...,u_n,y]が存在してF[u₁,...,u_n,y]においてh=gq₂。

Lは体だから系A.5.7によりL[u₁,...,u_n,y]はUFDなので、

部分環F[u₁,...,u_n,y]においてh=gq₂なら

L[u₁,...,u_n,y]でもh=gq₂でなければならない。

これはq₂=qを意味するから、q∈F[u₁,...,u_n,y]。

(c)

任意のν∈G_fをとると、h=∏_μ∈Gf (y-∑_1≤i≤n u_iα_μσ(i))より、

σ^-1νσ·h=∏_μ∈Gf  (y-∑_1≤i≤n u_σ-1νσ(i)α_μσ(i))。

ここでσ^-1νσ(i)=jとおけば、

異なるiについてjも全て異なり、またσ(i)=ν^-1σ(j)から、

σ^-1νσ·h=∏_μ∈Gf  (y-∑_1≤j≤n u_jα_μν-1σ(j))=∏_λ∈Gf  (y-∑_1≤j≤n u_jα_λσ(j))=h、

ただしλ=μν^-1とおき、μがG_f全体を走るとき、

μν^-1もG_f全体を走ることを用いた。

故に、σ^-1νσ∈Gだからσ^-1G_fσ⊂G。

演習問題4

(a)

演習問題1と同様のMaximaバッチファイル

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s1:y-(u1*x1+u2*x2+u3*x3);

s2:psubst([x1=x2,x2=x1],s1);

s3:psubst([x1=x3,x3=x1],s1);

s4:psubst([x2=x3,x3=x2],s1);

s5:psubst([x1=x2,x2=x3,x3=x1],s1);

s6:psubst([x1=x3,x3=x2,x2=x1],s1);

S:s1*s2*s3*s4*s5*s6;

Ss:ratsimp(elem([3],S,[x1,x2,x3])),elem:2$

s:subst([e1=-1,e2=-2,e3=1],Ss)$

ss:factor(s);

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を用いてs_u(y)の規約因数分解を得る。

(b)

Maxima で計算して、

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h:（(a)で得たhの表式、長いので略）

hsym:ratsimp(elem([3],h,[u1,u2,u3])),elem:2;

hres:ratsimp(h-subst([e1=u1+u2+u3,e2=u1*u2+u1*u3+u2*u3,

e3=u1*u2*u3],hsym));

hsym+hres;

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から、例13.4.3のhの表式を得る。

演習問題5

演習問題4(a)と同様に、Maximaバッチファイル

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s1:y-(u1*x1+u2*x2+u3*x3);

s2:psubst([x1=x2,x2=x1],s1);

s3:psubst([x1=x3,x3=x1],s1);

s4:psubst([x2=x3,x3=x2],s1);

s5:psubst([x1=x2,x2=x3,x3=x1],s1);

s6:psubst([x1=x3,x3=x2,x2=x1],s1);

S:s1*s2*s3*s4*s5*s6;

Ss:ratsimp(elem([3],S,[x1,x2,x3])),elem:2$

s:subst([e1=0,e2=0,e3=1],Ss)$

ss:factor(s);

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から、例13.4.4のs_u(y)の規約因数分解を得る。

演習問題6

(a)

ℚ[x₁,...,x_n]においてf=gh (g,h∈ℚ[x₁,...,x_n], deg(g)>0,deg(h)>0)

と可約になったとする。あるr,s∈ℤが存在して、

rg,sh∈ℤ[x₁,...,x_n]だから、ℤ[x₁,...,x_n]においてrsf=(rg)(sh)となる。

r,sは素因数分解した形で表されていると考えれば、

素数はℤ[x₁,...,x_n]において規約かつfはℤ上規約なので、

rsfは2通りの既約因数分解を持つことになり、

ℤ[x₁,...,x_n]がUFDであることと矛盾。

したがってfはℚ[x₁,...,x_n]上でも規約。

(b)

h₁をs_u(y)をℤ[u₁,...,u_n,y]の規約因子とすると、

(a)によりh₁はℚ[u₁,...,u_n,y]の規約因子で、,

ℚ[u₁,...,u_n,y]はUFDだから、ℚ[u₁,...,u_n,y]の単数倍、

すなわちℚ倍の不定性を除きhとh₁は一致する。

演習問題7

fはMaximaで規約因数分解できないのでℚ上既約。

Maximaで

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f:x^5+20*x+16;

discriminant:factor(resultant(f,diff(f,x),x));

factor(f),modulus:7;

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を用いてΔ(f)=2¹⁶·5⁶と、例13.4.6のF₇[x]における規約因数分解を得る。

演習問題8

p=3に対するSchönemann-Eisenstein判定法によりfはℚ上既約。

Maximaで

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f:x^5-6*x+3;

factor(f),modulus:11;

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を実行して、F₁₁においてf=(x²+3x+8)(x³+8x²+x+10)だから、

定理13.4.5によりlcm(2,3)=6は|Gal(L/ℚ)|を割る。

定理13.2.2のS₅の可移部分群のうち、位数が6で割れるのは

A₅とS₅だけである。

Δ(f)=-3⁴·19·1129∉ℚ²だから、定理13.2.6によりGal(L/ℚ)≃S₅。

演習問題9

S_nの2つの置換τ₁, τ₂について、あるσ∈S_nに対しτ₂=σ^-1τ₁σとすると、

τ₂はτ₁の各サイクルの文字をσによって置換したものだから、

τ₁と同じサイクル型を持つ。

逆にτ₂がτ₁と同じサイクル型を持てば、

τ₁の各サイクルの文字をτ₂の対応する文字に置換するσ∈S_nが存在するので、

τ₂=σ^-1τ₁σである。

演習問題10

(a)

(13.35)の集合をCとすると、

GはS_nの部分群なので、ある固定したサイクル型の元は、

必ずしもGに入らないから、C =∅であることもありうる。

C ≠∅の場合は、σ₁, σ₂∈Cなら演習問題9により、

あるτ∈S_nが存在してσ₂=τ^-1σ₁τである。

共軛関係は同値関係だから、S_nはこの同値関係によって類別されるので、

ある固定したサイクル型を持つS_nの類とGの共通部分がC。

τ∈Gであることとσ₁, σ₂がGの同じ共軛類に属することは同値だが、

そのようなτ∈Gは常に存在するとは限らないので、

一般にはCはGの共軛類の和集合。

(b)

S₄の部分群G={(1),(12),(34),(12)(34)}≃D₄を考える。

サイクル型が"3,1"の元は存在しないので、このサイクル型についてC =∅。

サイクル型が"2,1,1"の元は(12)と(34)だが、

(34)=τ^-1(12)τとなるτはGに存在しない（S₄には存在する）から、

(12)と(34)はGの異なる共軛類に属するので、

サイクル型"2,1,1"に対しCはGの2つの共軛類の和集合。

演習問題11

(a)

S₄の元は(1)(2)(3)(4)と₄C₂=6個の互換、₄P₃/3=8個の3サイクル、

₄P₄/4=6個の4サイクルと、3個の独立な互換同士の積である。

したがって

サイクル型	1,1,1,1	2,1,1	3,1	4	2,2
元の数	1	6	8	6	3
元の割合	4%	25%	33%	25%	13%

A₄の元は(1)(2)(3)(4)と₄P₃/3=8個の3サイクル、

3個の独立な互換同士の積である。

サイクル型	1,1,1,1	3,1	2,2
元の数	1	8	3
元の割合	8%	67%	25%

D₈の元は(1)(2)(3)(4)と2個の互換、2個の4サイクル、

3個の独立な互換同士の積である。

サイクル型	1,1,1,1	2,1,1	4	2,2
元の数	1	2	2	3
元の割合	13%	25%	25%	38%

D₄⊂A₄の元は(1)(2)(3)(4)と3個の独立な互換同士の積である。

サイクル型	1,1,1,1	2,2
元の数	1	3
元の割合	25%	75%

C₄の元は(12.37)の通り。

(b)

「13.1節の演習問題15」は「13.1節の演習問題14」の誤植。

Maximaでfactorで因数分解した結果を自動で例えばリストに割り当てて、

あとの計算で使う方法がわからない・・・。