コックス「ガロワ理論」 13.2節の演習問題2

演習問題11

定理13.2.6(a)により、Δ(f)∉F²なら

G⊄A₅だから、G=S₅またはG=AGL(1,F₅)。

このとき定理13.2.6(b)により、θ_fがFに根を持てばG=AGL(1,F₅)、

持たなければG=S₅となり、表の1行目と3行目が説明される。

Δ(f)∈F²ならG⊂A₅だから、G=A₅,G=AGL(1,F₅) ⋂ A₅またはG=<(12345)>。

このとき定理13.2.6(b)により、θ_fがFに根を持たなければ

G⊄ AGL(1,F₅)だからG=A₅となり、表の2行目が説明される。

またθ_fがFに根を持てばG⊂AGL(1,F₅)だから、

G=AGL(1,F₅) ⋂ A₅またはG=<(12345)>。

定理13.2.6(c)により、fがF(α)上完全分解すれば、

G=<(12345)>で、そうでなければG=AGL(1,F₅)⋂A₅となり、

表の4行目と5行目となる。

演習問題12

Maximaコマンド

f:x^5-6*x+3;

resultant(f,diff(f,x),x);

を用いてRes(f,f',x)=-1737531を得、

(5.13)からΔ(f)=Res(f,f',x)=-1737531∉ℚ²だから、

G=AGL(1,F₅)またはG=S₅。

演習問題6(b)に基づくMaximaスクリプト

---------------

f:x^5-6*x+3;

c0:coeff(f,x,5);

c1:coeff(f,x,4);

c2:coeff(f,x,3);

c3:coeff(f,x,2);

c4:coeff(f,x,1);

c5:coeff(f,x,0);

u1:x1*x2+x2*x3+x3*x4+x4*x5+x5*x1-x1*x3-x3*x5-x5*x2-x2*x4-x4*x1;

u2:psubst([x1=x2,x2=x3,x3=x1],u1);

u3:psubst([x2=x3,x3=x4,x4=x2],u1);

u4:psubst([x3=x4,x4=x5,x5=x3],u1);

u5:psubst([x4=x5,x5=x1,x1=x4],u1);

u6:psubst([x5=x1,x1=x2,x2=x5],u1);

res:(y-u1)*(y-u2)*(y-u3)*(y-u4)*(y-u5)*(y-u6);

ThetaUniversal: ratsimp(elem([5],expand(res),[x1,x2,x3,x4,x5])),elem:2;

b2:subst([e1=-c1/c0,e2=c2/c0,e3=-c3/c0,e4=c4/c0,e5=-c5/c0],

coeff(ThetaUniversal,y,4));

b4:subst([e1=-c1/c0,e2=c2/c0,e3=-c3/c0,e4=c4/c0,e5=-c5/c0],

coeff(ThetaUniversal,y,2));

b6:subst([e1=-c1/c0,e2=c2/c0,e3=-c3/c0,e4=c4/c0,e5=-c5/c0],

coeff(ThetaUniversal,y,0));

discriminant:factor(c0^(-9)*resultant(f,diff(f,x),x));

resolvent:(y^3+b2*y^2+b4*y+b6)^2-2^10*discriminant*y;

--------------

により、θ_f=(y³+120y²+8640y-69120)²+2¹⁰·1737531y。

θ_fはMaximaでℚ上因数分解できないので

θ_fはℚ上既約。よって命題13.2.7によりG=S₅。

なお実際の計算では、Θ_f(スクリプトでのThetaUniversal)の計算は時間がかかるので、

一度別途計算した明示的表式をThetaUniversalにしている。

演習問題13

(a)

演習問題12と同様にして、Δ(f)=Res(f,f',x)=50000=2⁴·5⁵∉ℚ²だから、

G=AGL(1,F₅)またはG=S₅。

またこれも、演習問題12と同様にして、

θ_f=y⁶-2¹⁰·50000y=y⁶-2¹⁴·5⁵yを得る。

(b)

ℚ⊂LはGalois拡大だからℚ(√5)⊂Lも定理7.1.3によりGalois拡大で、

[ℚ(√5):ℚ]=2だから定理7.1.5と定理4.3.8（塔定理）により

|Gal(L/ℚ(√5))|=[L:ℚ(√5)]=[L:ℚ]/[ℚ(√5):ℚ]=|Gal(L/ℚ)|/2

=|AGL(1,F₅)|/2=10。

故にGal(L/ℚ(√5))はGal(L/ℚ)≃AGL(1,F₅)の位数10の部分群。

ℚ(√5)にfは根を持たないので、

命題4.2.6によりfはℚ(√5)上規約だから、

命題6.3.7によりGal(L/ℚ(√5)と同型なAGL(1,F₅)の部分群は可移。

したがってGal(L/ℚ(√5)≃AGL(1,F₅)⋂A₅である。

演習問題14

(a)

Maximaではx⁵+px³+p²x/5+qを、

一度5x⁵+5px³+p²x+5qと整式に直してから終結式が計算される。

つまり単多項式の終結式として計算されないが、

(5.13)は単多項式の話だからそのままでは使えない。

fが単多項式でない場合は、fの最高次の係数をa_nとして、

Δ(f)=(-1)^n(n-1)/2 a_n^-2n+1Res(f,f',x)である。

この点に注意してあとは演習問題12と同様に計算すると、

f:x^5+p*x^3+p^2*x/5+q;

factor(resultant(f,diff(f,x),x)/5^9);

から、Δ(f)=(4p⁵+3125q²)²/5⁵を得る。

また、θ_f=(y³-7p²y²+11p⁴y+3p⁶/25+4000pq²)²-2¹⁰·(4p⁵+3125q²)²y/5⁵

も演習問題12と同様に得られる。

(b)

Maximaで因数分解して、

θ_f=(y-5p²)[3125y⁵-28125p²y⁴+81250p⁴y³+(25000000pq²-74250p⁶)y²

+(-50000000p³q²+1625p⁸)y-10000000000q⁴-600000p⁵q²-9p¹⁰]/3125

だから、y=5p²はθ_fの根である。

(c)

Maximaで

ratsimp(subst(x=z-p/(5*z),f));

によって計算して、

f(z-p/5z)=z⁵-p⁵/(5⁵z⁵)+qを得る。

(d)

(c)により、f=0は(z⁵)²+qz⁵-p⁵/5⁵だから、

z⁵の2次方程式として解けるので、fは冪根で解ける。

ただ、現れる10個のxの根のうち、

どれが真の根か判別する必要はある。

演習問題15

演習問題12と同様にMaximaで計算して

Δ(f)=256a⁵+3125b⁴,

θ_f=(y³-20ay²+240a²y+320a³)²-2¹⁰(256a⁵+3125b⁴)y。

演習問題16

(a)

Fの標数は5なのでa=0ならf'=0だから、

gcd(f,f')=f≠1となりfの分離性の仮定に反する。

したがってa≠0。

(b)

a=-1ならfの根の1つをαとして、

5.3節演習問題15によりF(α)はfの分解体で、F⊂F(α)はGalois拡大。

6.2節演習問題5(a)により、Gal(F(α)/F)≃ℤ/5ℤだから、

fのF上のGalois群Gal(F(α)/F)は巡回的、

故にAbel群だから、命題8.1.5によりGal(F(α)/F)は可解群である。

（Fの標数5は|Gal(F(α)/F)|=5を割るから、8.6節Cでの注意により、

F⊂F(α)が可解拡大になるかどうかは明らかでない）

(c)

x⁵-x+b'がfと同値なら、あるλに対し

x⁵-x+b'=x⁵+λ^-4ax+λ^-5bだから、λ⁴=-a, b'=λ^-5b。

すなわちλはg=y⁴+a∈F[y]の根である。

gは4次式なので、gのGalois群は可解、

またgcd(g,g’)=1だからgは分離的なので、

gの分解体をLとすればF⊂LはGalois拡大となり、

問題の条件を満たす。

(d)

(c)によりL上ではfはgの根λを用いて、

h=x⁵-x+b'∈L[x] (b'=λ^-5b)に帰着され、Gal(L/F)は可解群。

さらに(b)により、hの根の１つをαとして、

L(α)はhのL上の分解体で、Gal(L(α)/L)は可解群。

L(α)はhのL上の分解体だから、fのF上の分解体である。

定理7.1.1によりF⊂L(α)はGalois拡大で、

fのF上のGalois群はGal(L(α)/F)。

F⊂LはGalois拡大だから、定理7.3.2によりGal(L(α)/L)⊴Gal(L(α)/F)、

Gal(L/F)≃Gal(L(α)/F)/Gal(L(α)/L)である。

Gal(L(α)/L)、Gal(L/F)はともに可解だから、

定理8.1.4によりGal(L(α)/F)は可解。

(e)

（Fの標数は5なので定理8.3.3（Galoisの定理）は使えず、

5は|Gal(L(α)/L)|=5を割るので、

|Gal(L(α)/F)|= |Gal(L(α)/L)||Gal(L/F)|を割るから、

8.6節演習問題7の状況とも合致しないので、

F⊂L(α)がどのような拡大なのか、別の議論が必要）

標数5の体F上の、任意の5次分離既約多項式gが、

Bring-Jerrard形式に、Galois拡大F⊂L上で変形できたと仮定する。

ただしGal(L/F)は可解群。

gをBring-Jerrard形式に変形した方程式をh=x⁵+ax+b∈L[x]とし、

hのL上の分解体をMとすれば、(d)と同様の議論により、

MはgのF上の分解体で、Gal(M/F)は可解となる。

gはF上規約だから、Gal(M/F)≃G⊂S₅なるGは命題6.3.7により可移。

Gは可解だから、定理13.2.2と定理8.4.5によりG⊂AGL(1,F₅)である。

ところが、例えば(7.17)の普遍拡大を、

n=5, F=F₅(σ₁,..., σ₅), M=F₅(x₁,..., x₅)で考えると、

G=S₅なので,、G⊂AGL(1,F₅)でない拡大が存在することになり矛盾。

演習問題17

(a)

Maximaで

f:x^3+3*x+1;

g:x^2+b*x+a-y;

eliminate([f,g],[x]);

によって(13.22)を得る。

ただしP(a,b)=b³-3ab²+(3-3a)b-a³+6a²-9a³-1。

(b)

(13.22)のy²の係数=3(2-a)=0からa=2。

これよりyの係数=3(b²+b-1)=0からb²+b-1=0。

(c)

えーと、解き方の筋道の解説ではあるが、特に何をしろとは書いてない。

原書でもそう。まあ実際にこの筋道を実行しろということだと思うので、

x³+3x+1=-bx²+(-a+y)x+3x+1=-b(y-a-bx)+1+(-a+y+3)x=-by+ab+1+(y+b²-a+3)x=0

でy+b²-a+3≠0だから、x=(-by+ab+1)/(y+b²-a+3)。

演習問題18

(a)

Maximaで

f:x^5-5*P*x^2-5*Q*x-Q^2/P-P^3/Q;

ratsimp(subst(x=(Q^2/P)^(1/5)+P/Q*(Q^2/P)^(2/5),f));

で計算すると0になるのでfの根。

(b)

f=x⁵-5Px²-5Qx-Q²/P-P³/Q∈ℚ[x]として、演習問題12と同様に計算すると、

Δ(f)=5⁵(Q⁶-11P⁴Q³-P⁸)²∉ℚ²で、

θ_f=(y³+100Qy²+(4000Q²-2000P⁴/Q)y)²-2¹⁰·5⁵(Q⁶-11P⁴Q³-P⁸)²y

は根y=0をℚに持つので、

例13.2.8の前の表からfのℚ上のGalois群はAGL(1,F₅)。

(c)

g=x⁵-D, h=x⁵-5Px³+5Px²+D∈ℚ[x]とする。

(b)と同様に計算して、

Δ(g)=5⁵D⁴,

θ_g=y(y⁵-2¹⁰·5⁵D⁴)

Δ(h)=5⁵(4P⁵-D²)²,

θ_h=(y-125P²)[y⁵-225P²y⁴+16250P⁴y³-(371250P⁶+40000D²P)y²

+(203125P⁸+2000000D²P³)y-28125 P¹⁰+600000 D²P⁵-3200000D⁴]。

で、g,hとも判別式はℚ²の元でなく、6次分解式がℚに根を持つので、

例13.2.8の前の表からℚ上のGalois群はいずれもAGL(1,F₅)。

ℚ(√5)上では、Δ(f)=5⁵(Q⁶-11P⁴Q³-P⁸)²∈ℚ(√5)²,

Δ(g)∈ℚ(√5)², Δ(h)∈ℚ(√5)²だから、

f,g,hはすべて、ℚ(√5)上のGalois群がAGL(1,F₅)⋂A₅の部分群になる。

・・・なのだが、f,g,hのℚ上のGalois群は位数20のAGL(1,F₅)で、

gcd(f,f')=gcd(g,g')=gcd(h,h')=1だからf,g,hは分離的。

故に定理7.1.1によりf,g,hの分解体をそれぞれL_f,L_g,L_hとして、

ℚ⊂L_f, ℚ⊂L_g, ℚ⊂L_h,はすべてGalois拡大だから、

定理7.1.5により[L_f:ℚ]=[L_g:ℚ]= [L_h:ℚ]=|AGL(1,F₅)|=20。

2次拡大ℚ⊂ℚ(√5)によってGalois群は、

AGL(1,F₅)の部分群になっているから、

Galois対応によりℚ(√5)はL_f,L_g,L_hの部分体で、

|Gal(L_f/ℚ(√5))|=|Gal(L_g/ℚ(√5))|=|Gal(L_h/ℚ(√5))|=10。

この位数は5で割れるので、補題13.2.1から

Gal(L_f/ℚ(√5)), Gal(L_g/ℚ(√5)), Gal(L_h/ℚ(√5))は可移で、

位数5の巡回群を部分群に持つ。故に演習問題1(d)により、

Gal(L_f/ℚ(√5)), Gal(L_g/ℚ(√5)), Gal(L_h/ℚ(√5))は全て、

AGL(1,F₅)⋂A₅と同型でなければならない。

AGL(1,F₅)⋂A₅≃D₁₀は巡回群でないから、

(13.24)の最初の2つの多項式のℚ(√5)上のGalois群は巡回群でない。

・・・ということになり、題意と矛盾。

問題文はℚ(√5)になっているが、(13.24)のあとの本文はℚ(ζ₅)となっていて、

問題文と本文とで、何を示すべきなのか混乱がある模様・・・。

演習問題19

演習問題12のスクリプトを用いる。

(a)

fはMaximaで因数分解できないのでℚ上既約。

Δ=3·7²·23∉ℚ²,

θ_f=y⁶-40y⁵+880y⁴-8960y³+44800y²-3308544y+102400

で、θ_fはMaximaで因数分解できないのでℚ上既約。

例13.2.8の前の表からfのℚ上のGalois群はS₅。

(b)

fはMaximaで因数分解できないのでℚ上既約。

Δ=2¹⁶·5⁶∈ℚ²,

θ_f=y⁶-800y⁵+352000y⁴-71680000y³+7168000000y²-557056000000y+6553600000000

で、θ_fはMaximaで因数分解できないのでℚ上既約。

例13.2.8の前の表からfのℚ上のGalois群はA₅。

(c)

fはp=2に対するSchönemann-Eisenstein判定法によりℚ上既約。

Δ=2⁴·5⁵∉ℚ²,

θ_f=y(y⁵- 51200000)で、θ_fはℚに根を持つ。

例13.2.8の前の表からfのℚ上のGalois群はAGL(1,F₅)。

(d)

fはMaximaで因数分解できないのでℚ上既約。

Δ=2¹²·5⁶∈ℚ²,

θ_f=(y-100)( y⁵+300y⁴+52000y³+6320000y²+660000000y-16000000)で、

θ_fはℚに根を持つ。

例13.2.8の前の表からfのℚ上のGalois群は、

AGL(1,F₅)⋂A₅または<(12345)>。

fの根の一つはわからん・・・。

(e)

fはMaximaで因数分解できないのでℚ上既約。

Δ=11⁴∈ℚ²,

θ_f=y( y⁵-264y⁴+25168y³-1022208y²+14992384y-14992384)で、

θ_fはℚに根を持つ。

例13.2.8の前の表からfのℚ上のGalois群は、

AGL(1,F₅)⋂A₅または<(12345)>。

fの根の一つはわからん・・・。

演習問題20

演習問題12のスクリプトを用いると、

Δ=-2⁴·4003∉ℚ²,

θ_f=y⁶-360y⁵+47856y⁴-3025152y³+103474944y²-1812875264y+14770999296

で、θ_fはMaximaで因数分解できないのでℚ上既約。

例13.2.8の前の表からfのℚ上のGalois群はA₅となり、

可解群でないから、ℚ上冪根で解くことはできない。