コックス「ガロワ理論」 14.1節の演習問題

演習問題1

(a)

<θ>の正規化群をNとする。

τ∈Nとすると、τθτ^-1∈<θ>だから、ある1≤l≤p-1が存在して

τθτ^-1=θ^lだからτθ=θ^lτ。

逆にτθ=θ^lτならτθτ^-1=θ^lだからτ∈N。

(b)

(14.1)を繰り返し適用することで、

τ(i+j)=τ(i+(j-1)+1)=τ(i+(j-1))+l=....=τ(i)+jl。

演習問題2

(a)

H⊴GよりgH=Hgだから、(gH)^o(g)=g ^o(g)H^o(g)=H。

定理A.1.1（Lagrangeの定理）から|G/H|=|G|/|H|=[G:H]だから、

任意のgH∈G/Hについて(gH)^[G:H]=e_G/H=H。

以上により(gH)^o(g)=(gH)^[G:H]=H。

(b)

gcd(o(g),[G:H])=1だから、あるm,n∈ℤが存在してmo(g)+n[G:H]=1。

(a)により(gH)^o(g)=(gH)^[G:H]だから、

(gH)^mo(g)=(gH)^1-n[G:H]= (gH)^m[G:H]よりgH=(gH)^(m+n)[G:H]。

さらに(gH)^[G:H]=Hを用いてgH=[(gH)^[G:H]]^m+n=Hとなるので、g∈H。

演習問題3

定理A.5.1(c)（Sylowの第3定理）により、

Gのp-Sylow部分群の個数をNとして、

N≡1 (mod p)かつNは|G|=pm (1≤m≤p-1)を割る。

N≡1 (mod p)よりN=pk+1≠p (k≥0)だからN|mなので、

ある1≤d≤mについてm=Nd=pkd+dだが、

1≤m≤p-1だからk=0でなければならない。

したがってN=1となり、<θ>はGの唯一つのp-Sylow部分群だから、

g∈Gを任意として<θ>の位数pの共軛部分群g<θ>g^-1=<θ>となるので、

<θ>⊴Gである。

演習問題4

GがFrobenius群なら、G_x⋂G_y={e}である。

Gは可移的なのでg(x)=yとなるg∈Gが存在するからG_x⊊G。

また|G·x|=|X|<|G|から定理A.4.9（群の作用の基本定理）により|G_x|=|G|/|G·x|=|G|/|X|>1。

故に1<|G_x|<|G|。

H=G_xとし、任意のg∉Hについて、g(x)=y≠xとすると、

gHg^-1はGの部分群で(gHg^-1)·y=yだから、

gHg^-1⊂G_yなので、H⋂gHg^-1={e}である。

逆はうーん・・・。

演習問題5

Fの標数は0でfは規約だから命題5.3.7により分離的。

f∈ℝ[x]は奇数次なので、命題3.2.2により少なくとも1つの実根αを持つ。

fが2つの実根α,γを持ち、かつβ∉ℝなる根も持ったとする。

fは冪根で解けるから、定理14.1.1によりL=F(α, β)=F(α, γ)となるが、

ℝ⊊F(α, β) かつF(α, γ)⊂ℝだから矛盾。

故にfはただひとつの実根を持つか、またはp個全ての根が実根である。

演習問題6

6.4節演習問題6により、fは3つの実根を持つ。

f∈ℚ[x]⊂ℝ[x]は規約5次式だから、演習問題5により、

fは冪根で解くことはできない。

演習問題7

τ∈S_pについてτθτ^-1∈AGL(1,F_p)とする。

(τθτ^-1)^p=τθ^pτ^-1 =eだから、o(τθτ^-1)=pである。

補題14.1.2(a)により<θ>⊴AGL(1,F_p)で、[AGL(1,F_p):<θ>]=p-1だから、

gcd([AGL(1,F_p):<θ>], o(τθτ^-1))=1なので、補題14.1.3によりτθτ^-1∈<θ>。

したがってτは<θ>を正規化するので、補題14.1.2(a)によりτ∈AGL(1,F_p)。