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・　数学とか



2011-02-19

シルヴァーマン　「はじめての数論」第3版　第41章練習問題1


41.1
(a)
E(x)=0+2x+4x2+...=2N(x)=2x/(1- x)2。

(b)
J(x)=G(x)+2N(x)=(1+x)/(1- x)2。

(c)
E(x2)+xJ(x2)=N(x)
E(x2)の各項は2nx2n、xJ(x2) の各項は(2n+1)x2n+1だから、
単にE(x2)+xJ(x2)=∑k kxkである。

41.2
an=a+nm(n≥0)として
∑n anxn=a∑n xn +m∑n nxn=aG(x)+mN(x)=[a+x(m-a)]/(1- x)2。

41.3
(a)
C(x)=∑n n3xn=x(d/dx)S(x)=x(1+4x+x2)/(1-x)4。
(b)
Q(x)=∑n n4xn=x(d/dx)C(x)=x(1+11x+11x2+x3)/(1-x)5。
(c)
U(x)=∑n n5xn=x(d/dx)Q(x)=x(1+26x+66x2+26x3+x4)/(1-x)6。
(d)
X(x)=∑n n6xn=x(d/dx)U(x)=x(1+57x+302x2+302x3+57x4+x5)/(1-x)7。

41.4
(a)
1,2,3,4,5

(b)
G(x)2=(1+x+x2+...)2のxnの項は、(1+x+x2+...+ xn)2の部分積のxnの項である。
積がxnになる項の組は(n+1)組あるから、G(x)2=∑n (n+1)xn。
したがって、G(x)2-G(x)=∑n nxn=N(x)=x/(1-x)2。

41.5
Tn=n(n+1)/2(n≥0)より∑n≥0 Tnxn=(1/2)∑n≥0 (n2+n)xn=(S(x)+N(x))/2=x/(1-x)3。

41.6
(a)
nC1=n, 0C1=0から∑n≥0 nC1xn=∑n≥1 nxn=N(x)=x/(1-x)2。

(b)
nC2=n(n-1)/2 (n≥2), nC2=0 (n<2)から
∑n≥0 nC2xn=(1/2)∑n≥2 n(n-1)xn=[S(x)-x-(N(x)-x)]/2=x2/(1-x)3。

(c)
nC3=n(n-1)(n-2)/6 (n≥3), nC3=0 (n<3)から
∑n≥0 nC3xn=(1/6)∑n≥3 n(n-1)(n-2)xn=[ C(x)-x-8x2-3(S(x) -x-4x2)+2(N(x)-x-2x2)]/6
=x3/(1-x)4。

(d)
問題文のnC3はnCkの誤植。∑n≥0 nCkxn=xk/(1-x)k+1が予想される。

(e)
kについての数学的帰納法で証明する。
k=1の時は(a)で示した。
k=mの時成り立つとして、k=m+1のときは、
∑n≥0 nCm+!xn=∑n≥0 n!xn/{(m+1)![n-(m+1)]!} =∑n≥0 [(n-m)/(m+1)]n!xn/[m!(n-m)!]
=[∑n≥0 nnCmxn-m∑n≥0 nCmxn]/(m+1)={x(d/dx)[xm/(1-x)m+1]- mxm/(1-x)m+1}/(m+1)= xm+1/(1-x)k+2
となりk=m+1のときも成り立つ

41.7
「練習問題41.7で」は「練習問題41.3で」の誤植。
(a)
k=0のときP0(x)=1で存在する。
k=mのときDm(x)=Pm(x)/(1-x)m+1となる整式Pm(x)が存在したとすると、
k=m+1に対しDm+1(x)=x(d/dx)Dm(x)=[x/(1-x)m+2][ Pm'(x)(1-x)+(m+1)Pm(x)]、
ただしPm'(x)= dPm(x)/dx。
したがって整式Pm+1(x)=x[Pm'(x)(1-x)+(m+1)Pm(x)]が存在する。

(b)
P0(0)=1、Pk(0)=0 (k≥1)。
(a)での作り方からk≥1に対しある多項式Qk(x)=Pm'(x)(1-x)+(m+1)Pm(x)が存在して
Pk(x)=xQk(x)なので、Pk(0)=0 (k>0)。

(c)
P0(1)=1、P1(1)=1、P2(1)=2、P3(1)=6、P4(1)=24、P5(1)=120、P6(1)=720。
Pk+1(1)=(k+1)Pk(1)すなわちPk(1)=k!が予想される。

k=0のときP0(x)=0!で成り立つ。
k=mのときPm(1)=m!となったとすると、
k=m+1に対しPm+1(x)=x[Pm'(x)(1-x)+(m+1)Pm (x)]においてx=1だから、
Pm+1(1)= (m+1)Pm (1)=(m+1)!となりk=m+1でも成り立つ。

(d)
P0'(0)=0, P1'(0)=P2'(0)=P3'(0)=P4'(0)=P5'(0)=P6'(0)=1。
k=1のときP1'(0)=1で成り立つ。
k=m≥1のときPm'(0)=1となったとすると、
k=m+1に対しPm+1'(x)=Pm'(x)(1-x)+(m+1)Pm (x)+xQm'(x)においてx=0だから、
Pm(0)=0 (m≥1)よりPm+1'(0)=Pm'(0)=0となりk=m+1でも成り立つ。

P0'(1)=0, P1'(1)=1, P2'(1)=3, P3'(1)=12, P4'(1)=60, P5'(1)=360, P6'(0)=2520。
k≥1のときPk+1'(1)=(k+2) Pk'(1)すなわちPk'(1)=(k+1)!/2と予想される。
k=1のときP1'(1)=1で成り立つ。
k=m≥1のときPm'(1)= (m+1)!/2となったとすると、
k=m+1に対し、Pm+1(x)=x[Pm'(x)(1-x)+(m+1)Pm(x)]より
Pm+1'(x)= (1-x)Pm''(x) +(m+1-x)Pm'(x) +(m+1)Pm (x)だから、
Pm+1'(1)=mPm'(1) +(m+1)Pm(1)=(m+2)!/2となりk=m+1でも成り立つ。

(e)
各項の係数が対称に並んでいる。

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シルヴァーマン　「はじめての数論」第3版　第40章練習問題3


40.7
(a)
m=1の時は命題40.1においてa=b=b1だから、r=b1, t=2, s2D=b12+4。
m>1に対しB= [(b1, b2,... bm)]、m次近似分数を pm/qm= [b1, b2,... bm]とする。
定理39.1のpm,qmの漸化式（ただし定理39.1とは添字が1ずれて0からの開始）より、
B=[(bm+1/B) pm-1+pm-2]/[(bm+1/B) qm-1+qm-2]。
ただし、練習問題39.4の流儀に従いp0,q0を定義している。
これよりr=pm-qm-1, t=2qm, s2D=r2+4qmpm-1。

(b)
[(1)]=(1+√5)/2。
[(1, 2)]=(1+√3)/2。
[(1, 2, 3)]=(4+√37)/7。
[(1, 2, 3, 4)]=(9+2√39)/15。
[(1, 2, 3, 4, 5)]=(195+√65029)/314。
[(1, 2, 3, 4, 5, 6)]=(103+2√4171)/162。

(c)
A=[a1, a2,... aℓ, (b1, b2,... bm)]=(R+S√D)/T, ℓ次近似分数を Pℓ/Qℓ= [a1, a2,... aℓ],
B= [(b1, b2,... bm)]=(r+s√D)/tとする。
ここで二次無理数AとBの平方根の中が両方共Dであることは、
定理40.2の証明から保証されている。また、(a)と同様にP0,Q0を定義している。

ℓ=1に対しA=a1+1/BよりR=r(a1r+t)-a1s2D,S=-st, T=r2-s2D。
ℓ>1に対しA=[(aℓ+1/B) Pℓ-1+Pℓ-2]/[(aℓ+1/B) Qℓ-1+Qℓ-2]より、
R=(Pℓr+Pℓ-1t)(Qℓr+Qℓ-1t)-PℓQℓs2D,
S=(-1)ℓ-1st,
T=(Qℓr+Qℓ-1t)2-Qℓ2s2D。

(d)
[6, 5, 4, 3, 2, (1)]=(115759+√5)/18698。
[6, 5, 4, 3, (1, 2)]=(5487-√3)/886。
[6, 5, 4, (1, 2, 3)]=(1901+√37)/308。
[6, 5, (1, 2, 3, 4)]=(68-√39)/10。
[6, (1, 2, 3, 4, 5)]=321+√65029)/86。

40.8
(b)
x2-Dy2=-1の最小解が存在すれば"negative solution"で表す。
D=76: x=57799, y=6630
D=77: x=351, y=40
D=78: x=53, y=6
D=79: x=80, y=9
D=80: x=9, y=1
D=82: x=163, y=18, negative solution: x=9, y=1
D=83: x=82, y=9
D=84: x=55, y=6
D=85: x=285769, y=30996, negative solution: x=378, y=41
D=86: x=10405, y=1122
D=87: x=28, y=3
D=88: x=197, y=21
D=89: x=500001, y=53000, negative solution: x=500, y=53
D=90: x=19, y=2
D=91: x=1574, y=165
D=92: x=1151, y=120
D=93: x=12151, y=1260
D=94: x=2143295, y=221064
D=95: x=39, y=4
D=96: x=49, y=5
D=97: x=62809633, y=6377352, negative solution: x=5604, y=569
D=98: x=99, y=10
D=99: x=10, y=1


40.9(a)(b)
40.10
参考：Steinig (1992), 河村央也



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シルヴァーマン　「はじめての数論」第3版　第40章練習問題2


40.6
(a)
連分数の周期数列[(b1, ..., bm)]の周期自体を求めるのではなく、
√D=a+1/α0, bn=⌊αn-1⌋, αn-1=bn+1/αnによって決まる実数列{αn}(n≥1)について、
α0=αnとなる最小のnを求めた方が、精度よく計算でき、
しかも比較がα0との比較だけで済むのでやりやすい。

α0=(a+√D)/(D-a2)である。αn=(rn+sn√D)/tnとおくと、
r0=a, s0=1, t0= D-a2。また、bn+1=⌊αn⌋を用いてαn=bn+1+1/αn+1を解いて
rn+1=tn(bn+1tn-rn), sn+1=sntn, tn+1=sn2D-(bn+1tn-rn)2。

この漸化式をプログラムに組んで、以下の表を得る。
√2=[1, (2)]
√3=[1, (1, 2)]
√5=[2, (4)]
√6=[2, (2, 4)]
√7=[2, (1, 1, 1, 4)]
√8=[2, (1, 4)]
√10=[3, (6)]
√11=[3, (3, 6)]
√12=[3, (2, 6)]
√13=[3, (1, 1, 1, 1, 6)]
√14=[3, (1, 2, 1, 6)]
√15=[3, (1, 6)]
√17=[4, (8)]
√18=[4, (4, 8)]
√19=[4, (2, 1, 3, 1, 2, 8)]
√20=[4, (2, 8)]
√21=[4, (1, 1, 2, 1, 1, 8)]
√22=[4, (1, 2, 4, 2, 1, 8)]
√23=[4, (1, 3, 1, 8)]
√24=[4, (1, 8)]
√26=[5, (10)]
√27=[5, (5, 10)]
√28=[5, (3, 2, 3, 10)]
√29=[5, (2, 1, 1, 2, 10)]
√30=[5, (2, 10)]
√31=[5, (1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10)]
√32=[5, (1, 1, 1, 10)]
√33=[5, (1, 2, 1, 10)]
√34=[5, (1, 4, 1, 10)]
√35=[5, (1, 10)]
√37=[6, (12)]
√38=[6, (6, 12)]
√39=[6, (4, 12)]
√40=[6, (3, 12)]
√41=[6, (2, 2, 12)]
√42=[6, (2, 12)]
√43=[6, (1, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 12)]
√44=[6, (1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 12)]
√45=[6, (1, 2, 2, 2, 1, 12)]
√46=[6, (1, 3, 1, 1, 2, 6, 2, 1, 1, 3, 1, 12)]
√47=[6, (1, 5, 1, 12)]
√48=[6, (1, 12)]
√50=[7, (14)]

(b)
(3+2√2)/5=[1, 6, (28, 7)]
(3+2√3)/5=[(1, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 10)]
(3+2√5)/5=[(1, 2, 44, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 10, 1, 1, 2, 3)]
(3+2√6)/5=[(1, 1, 1, 2)]
(3+2√7)/5=[(1, 1, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 2, 52, 2, 5, 2)]
(3+2√8)/5=[(1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 7, 2, 7, 1, 1)]
(3+2√10)/5=[(1, 1, 6, 2, 2, 15, 2, 2, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 62, 1, 1, 1)]
(3+2√11)/5=[(1, 1, 12, 1, 1, 1, 2, 1)]
(3+2√12)/5=[(1, 1, 68, 1, 1, 1, 3, 1)]
(3+2√13)/5=[(2, 23, 1, 2, 5, 1)]
(3+2√14)/5=[(2, 10, 2, 1, 8, 1)]
(3+2√15)/5=[(2, 6, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 76, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 6, 2, 1, 18, 1)]
(3+2√17)/5=[2, (4, 82, 4, 3, 20, 3)]
(3+2√18)/5=[2, (3, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 10, 3)]
(3+2√19)/5=[2, (2, 1, 10, 5, 28, 1, 6, 3)]
(3+2√20)/5=[2, (2, 1, 1, 2, 1, 88, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 5, 3)]
(3+2√21)/5=[2, (2, 3, 4, 3)]
(3+2√22)/5=[2, (2, 9, 1, 92, 1, 9, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3)]
(3+2√23)/5=[2, (1, 1, 13, 7, 3, 3)]
(3+2√24)/5=[2, (1, 1, 3, 1, 2, 3)]
(3+2√26)/5=[2, (1, 1, 1, 3, 2, 3)]
(3+2√27)/5=[2, (1, 2, 9, 11, 2, 3)]
(3+2√28)/5=[2, (1, 2, 1, 1, 8, 4, 8, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 14, 1, 1, 3)]
(3+2√29)/5=[2, (1, 3, 15, 8, 4, 1, 1, 3)]
(3+2√30)/5=[2, (1, 3, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 1, 108, 1, 3, 2, 1, 1, 3)]
(3+2√31)/5=[2, (1, 4, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 22, 7, 2, 1, 1, 1, 3)]
(3+2√32)/5=[2, (1, 6, 3, 1, 1, 112, 1, 1, 3, 6, 1, 3, 1, 1, 1, 27, 1, 1, 1, 3)]
(3+2√33)/5=[2, (1, 8, 1, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 3)]
(3+2√34)/5=[2, (1, 13, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 3)]
(3+2√35)/5=[2, (1, 28, 1, 3, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 118, 6, 4, 1, 1, 3, 3, 1, 3)]
(3+2√37)/5=[3, (30, 4, 1, 4, 1, 120, 1, 4, 1, 4)]
(3+2√38)/5=[3, (15, 4, 1, 6, 2, 4, 2, 6, 1, 4)]
(3+2√39)/5=[3, (10, 4, 1, 8, 1, 4)]
(3+2√40)/5=[3, (7, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 31, 3, 4, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 7, 4, 1, 13, 4, 126, 4, 13, 1, 4)]
(3+2√41)/5=[3, (6, 4, 1, 24, 1, 4)]
(3+2√42)/5=[3, (5, 4, 1, 128, 1, 4)]
(3+2√43)/5=[3, (4, 2, 15, 1, 17, 1, 3, 1, 10, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 10, 1, 3, 1, 17, 1, 15, 2, 4, 5, 43, 1, 1, 9, 1, 1, 2, 1, 1, 9, 1, 1, 43, 5)]
(3+2√44)/5=[3, (3, 1, 18, 5)]
(3+2√45)/5=[3, (3, 1, 1, 7, 1, 4, 2, 14, 2, 4, 1, 7, 1, 1, 3, 5, 12, 134, 12, 5)]
(3+2√46)/5=[3, (3, 5, 8, 1, 5, 1, 8, 5)]
(3+2√47)/5=[3, (2, 1, 11, 1, 3, 1, 1, 136, 1, 1, 3, 1, 11, 1, 2, 5, 7, 34, 7, 5)]
(3+2√48)/5=[3, (2, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 3, 2, 1, 2, 5, 5, 1, 5, 5)]
(3+2√50)/5=[3, (2, 2, 1, 140, 1, 2, 2, 5, 4, 2, 1, 1, 1, 5, 35, 5, 1, 1, 1, 2, 4, 5)]

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2011-02-17

ハーツホーン「幾何学I・II」　7節演習問題3

7.7
(a)
線分AB上にA*C*Bとなる点C∈線分ABが存在するとすると、
A, C∈線分AC、B, C∈線分CBは明らか。
A*D*Cとなる点Dが存在すれば、
公理B1によりB*C*AかつC*D*Aだから、
演習問題7.1(b)によりB*D*AとなりD∈線分AB。
同様にC*E*Bとなる点Eが存在すれば、D∈線分AB。
したがって線分ABの点は線分ACまたは線分CBに属するから
線分AC∪線分CB=線分AB。

また、B*C*AからA∉線分CBで、さらにC*D*Aから
練習問題7.1(b)によりB*C*Dだから、D∉線分CB。
同様にB∉線分AC、E∉線分AC。
なので、線分AC∩線分AC={C}。

(b)
ℓ上の任意の点Pは、Aに関してBと同じ側にあるか、
反対側にあるか、A自身であるかのいずれかである。
PがBと同じ側にあるかA自身なら、P∈半直線AB。
PがBと反対側にあれば、B*A*Pだから PはBに関してAと同じ側にある。
したがってP∈半直線BA。よって半直線AB∪半直線BA=ℓ。

また、PがAまたはBと一致すればP∈半直線AB∩半直線BAである事は明らか。
A*P*BならPはBに関してAと同じ側にあり、
かつAに関してBと同じ側にあるから、P∈半直線AB∩半直線BA。
したがって線分AB⊆半直線AB∩半直線BA。
逆にPはBに関してAと同じ側にあり、
かつAに関してBと同じ側にあるなら、A*P*Bだから、
線分AB⊇半直線AB∩半直線BA。
したがって、線分AB=半直線AB∩半直線BA。

7.8
演習問題7.6の（下手な方の）証明で示した。

7.9
次の補題をまず証明する。
補題：線分AB上にA*C*Bとなる点Cが存在するとする。
線分ABと共線的でない点Dをとると、Cは∠ADBの内部にある。
∵) A*C*BよりCは直線ADについてBと同じ側にあり、
かつ直線BDについてAと同じ側にあるから、Cは∠ADBの内部にある。

この補題を用いて証明する。

演習問題7.6により辺BC上にB,Cと異なる点Dが存在するので、
線分ADが存在する。また、辺AC上にA,Cと異なる点Eが存在するので、
線分BEが存在する。

△ACDにおいて直線BEはPaschの公理B4の条件を満たすから、
直線BEは線分ADまたは線分DCと交わるが、
直線BEと直線DCとの交点はBだから、直線BEは線分ADと交わる。
したがって直線BEと線分ADとの交点Fが存在する。

Fは線分AD上にあるから、補題により∠ACDすなわち∠ACBと、
∠ABCの内部の点である。またFは線分BE上にあるから、
補題により∠BAEすなわち∠BACの内部の点である。
したがってFは△ABCの内部の点だから、三角形の内部は空集合でない。

7.10
半直線ADが存在するので、命題7.3（横木定理）により、
半直線ADと辺BCとの交点Eが存在する。

ℓがAを通ればℓ は直線ADと一致するから、辺BCと交点Eで交わる。
同様にℓがBまたはCを通れば、辺ACまたは辺ABとそれぞれ交わる。
ℓがA,B,Cのいずれも通らなければ、Dが直線ADとℓの交点だから、
ℓは直線AD上の点Eを通らない。ゆえに△ACEにおいて、
ℓはPaschの公理B4の条件を満たすから、辺ACまたは辺ECと交わる。
演習問題7.7(a)により辺EC⊆辺ACだから、
ℓは辺ACまたは辺BCと交わる。
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