ハーツホーン「幾何学I・II」 7節演習問題1

7.1

(a)

A*B*Cより、命題7.2(b)からBに関してAとCは反対側にある。

また、B*C*Dより、命題7.2(a)からBに関してCとDは同じ側にある。

したがってDもBに関してAと反対側にあるので、

命題7.2(b)によりBは線分AD上にあるから線分の定義によりA*B*D。

同様にしてA*C*Dも示される。

(b)

A*B*Dより、命題7.2(b)からBに関してAとDは反対側にある。

また、B*C*Dより、命題7.2(a)からBに関してCとDは同じ側にある。

したがってCもBに関してAと反対側にあるので、

命題7.2(b)によりBは線分AC上にあるから線分の定義によりA*B*C。

同様にしてA*C*Dも示される。

7.2

存在したとすると、C, D∈線分ABよりA*C*BおよびA*D*Bだから、

命題7.2(b)によりC, DはAに関して同じ側にあるので、

A*C*DまたはA*D*Cである。

一方C*A*Dなので、Aと、CまたはDが、他の2点の間にあることになり、

公理B3と矛盾する。

したがってC*A*Dなる2点C, D∈線分ABは存在しない。

線分ABに3つ目の端点A'が存在したとすると、

A'*A*BかつA*A'*B、またはA*B*A'かつA*A'*Bとなるが、

いずれにせよ上で証明したことに矛盾する。

したがって、線分ABは高々2つの端点しか持ち得ない。

線分の定義により線分ABは少なくとも2つの端点を持つのは明らかだから、

線分の端点A, Bはただ一通りに定まる。

7.3

まず次の補題を証明する。

補題：△ABCの一つの辺ABについてA*B*Pなる点Pを直線AB上にとる。

△ABCの内部となる点集合をIとすると、P∉ IかつP∉△ABC。

∵) 直線AB上でPはBに関してAの反対側にあるから、

∠ACBの内部の点ではない。したがってP∉ I。

また、P∈△ABCと仮定すると、A*B*Pだから、

演習問題7.2によりP∉辺AB。

またPは直線AB上の点だが、直線BCとABの交点はすでにBがあり、

直線CAとABの交点はすでにCがあるから、

Pは直線BC, CA上の点ではありえない。

したがってP∉△ABC。よって補題が証明された。

この補題を用いて証明する。

簡単のため、△ABCの内部にも△ABCにも含まれない点の集合を、

△ABCの外部と呼ぶ。

△ABCに4つ目の頂点Dが存在したとする。

Dが直線AB, BC, CA上にあれば演習問題7.2の、

辺の端点の一意性に矛盾するから、Dはどの辺の上にもない。

したがって、Dは△ABCの内部の点かまたは外部の点のいずれかである。

Dが△ABCの内部の点だったとすると、Dは∠BACの内部の点なので、

横木定理7.3により、半直線ADとBCの交点Eが存在してB*E*Aだから、

E∈△ABC。ところがA*D*Eだから上の補題によりE∉△ABCとなり矛盾。

したがってDは△ABCの内部の点ではない。

Dが△ABCの外部の点で直線AB, BC, CA上にないとする。

このときDは∠ABC, ∠ACB, ∠BACのいずれかの角の外部にあるから、

ある辺を含む直線に関してDと反対側にある頂点が存在する。

例えばDが直線ABに関してCと反対側にあるとすると、

命題7.2(b)により直線ABと直線CDの交点Eが存在して

D*E*Cで、またDは直線AC, BC上にないから

A*B*E, A*E*B, B*A*Eのいずれかである。

A*B*Eなら補題によりEは△ABCの外部の点だが、

一方Dは△ABCの頂点なのでD*E*CよりE∈△ABCとなり矛盾。

同様にB*A*Eでも矛盾。

A*E*BならE∈△ABC だが、Eは3つの角∠ADB, ∠DBC, ∠CADの

内部にあるのでEは△ABCの内部の点となり矛盾。

したがって、Dは△ABCの外部の点ではない。

よって、4つ目の頂点Dは存在し得ないので、

三角形は高々3つの頂点しか持ち得ない。

三角形が少なくとも3つの頂点を持つことは定義により明らかだから、

三角形の3つの頂点はただ一通りに定まる。