コックス「ガロワ理論」 5.3節の演習問題3

演習問題11

f∈F[x]は定数でないから、f'≠0。fは単多項式として一般性を失わない。

fとf'がどんなFの拡大においても共通根を持たなければ、

fとf'の分解体を含む体においてもそうだから、

fとf'が完全分解したときに共通因子はないので、

F[x]においてgcd(f,f')=1。命題5.3.2によりfは分離的である。

逆にf∈F[x]が分離的とする。命題5.3.2によりgcd(f,f')=1。

fとf'があるFの拡大において共通根αを持つと仮定する。

このときfとf'の分解体を含む体Lにおいては、

f=(x-α)∏_{2≤i≤deg(f)} (x-α_i)と一意に分解され、α,α₂,...,α_nは相異なる。

するとf'=(x-α)h'(x)+h(x), h(x)=∏_{2≤i≤deg(f)} (x-α_i)なので、0=f'(α)=h(α)=∏_{2≤i≤deg(f)} (α-α_i)。

Lは体なので整域だから、少なくともひとつのiについてα=α_iでなければならないが、

α,α₂,...,α_nは相異なるのでこれは不可能。

したがって、fとf'はどんなFの拡大においても共通根を持たない。

演習問題12

F⊂Lは有限次拡大だから、補題4.4.2により代数拡大で、

任意のα∈LのF上の最小多項式p_α∈F[x]についてdeg(p_α)|[L:F]。

また、p_αは命題4.1.5によりF上の既約多項式である。

p∤[L:F]だから、gcd(deg(p_α), p)=1なので、補題5.3.5によりp_αは分離的だから、

αは分離的。したがって、F⊂Lは分離拡大。

演習問題13

F⊂Kが分離拡大でないと仮定すると、あるα∈Kが存在して、

αの最小多項式p_α∈F[x]は分離的でないから、

命題5.3.2よりF上でdeg(gcd(f,f'))>0。

ところがF⊂Lは分離拡大で、α∈Lだから、

命題5.3.2よりF上でgcd(f,f')=1となり矛盾。したがってF⊂Kは分離拡大。

K⊂Lが分離拡大でないとしても同様。

演習問題14

MapleやMathematicaは高いのでMaximaで。

f:x^6-x^5+x^3-2*x^2+1;

ratsimp(f/gcd(f,diff(f,x)));

で確かめられる。

演習問題15

(a)

f'=px^p-1-1=-1より、gcd(f,f')=1だからfは分離的。

(b)

α^p-α+a=0と補題5.3.10を用い、

f(α+1)=(α+1)^p-(α+1)+a=α^p +1-α-1+a=0だから、α+1はfの根。

(c)

(b)を繰り返し用い、α, α+1, α+2,..., α+p-1∈F(α)のp個は、

すべて相異なるfの根だから、fの根はこれで尽くされる。

したがって、fはF(α)に全ての根を持つので、fはF(α)上完全分解する。

(d)

α, α+1, α+2,..., α+p-1∈F(α)は全て異なるので、fは分離的で、F(α)上完全分解する。

したがってF⊂F(α)は分離多項式の分解体だから、

定理5.3.15(b)によりF⊂F(α)は分離的。さらに定理5.2.4によりF⊂F(α)は正規。

演習問題16

(a)

(5.6)式を繰り返し用い、(x-β)の因子が残っている項はx=βのとき全て消えるから、

残るのは[(x-β)^m]^(m)h(x)からくるm!h(β)だけである。

(b)

(x-β)の因子が残っている項はx=βのとき全て消える。

βがfの根として重複度mを持てばf=(x-β)^mh(x), h(β)≠0だから、(a)により

f(β)=f'(β)=...=f^(m-1)(β)=0、f^(m)(β)=m!h(β)≠0。

逆にf(β)=f'(β)=...=f^(m-1)(β)=0、f^(m)(β)=m!h(β)≠0とする。

f(β)=f'(β)=...=f^(m-1)(β)=0から、fは(x-β)の因子を少なくともm個持たねばならず、

f^(m)(β)≠0から(x-β)の因子は高々m個となるから、βはfの根として重複度mを持つ。

(c)

標数pがm!の整数因子中にあると、f^(m)(β)=0となるから、

m<pでなければならない。