コックス「ガロワ理論」 6.2節の演習問題

演習問題1

σ²=1, τ²=1だから、{1,σ},{1,τ}はともにGal(L/ℚ)の部分群で位数は2、

さらに巡回群ℤ/2ℤに同型である。στ=τσだから、Gal(L/ℚ)は有限Abel群なので、

定理A.1.17により素数冪位数の巡回群の直積と同型となる。

|Gal(L/ℚ)|=4=2×2からGal(L/ℚ)=ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ=D₄となり、

Gal(L/ℚ)はKleinの四元群である。

演習問題2

(a)

ωのℚ上の最小多項式はx²+x+1なのでσ(ω)∈{ω,ω²}、

∛2のℚ上の最小多項式はx³-2なのでσ(∛2)∈{∛2,∛2ω,∛2ω²}。

5.1節演習問題1によりLはx³-2の分解体なので、

定理5.1.5によりℚ⊂Lは有限次拡大だから、

命題6.1.4(b)により、σはσ(ω)とσ(∛2)によって一意的に定まる。

(b)

Lはx³-2の分解体だから、命題5.1.8により{ω,ω²}の元を入れ替える

自己同型σ∈Gal(L/F)が存在する。

同様に{∛2,∛2ω,∛2ω²}の元を任意に入れ替える自己同型τ∈Gal(L/F)が存在する。

Gal(L/F)は命題6.1.2により群だから、自己同型の合成により、

σ(ω)とτ(∛2)の可能な組み合わせが全て起こる。

演習問題3

(a)

⁵√2の最小多項式はx⁵-2である。したがって⁵√2とζ₅はℚ上代数的なので、

定理4.4.3によりℚ⊂Lは有限次拡大。

ζ₅の最小多項式は4次式で、⁵√2の最小多項式は5次式だから、

命題4.3.4により[ℚ(ζ₅):ℚ]=4, [ℚ(⁵√2):ℚ]=5。

定理4.3.8（塔定理）により

(i) 4|[L:ℚ]

(ii) 5|[L:ℚ]

(iii) [L:ℚ]≤4·5=20である。

(i)(ii)によりLCM(4,5)=20|[L:ℚ]だから[L:ℚ]≥20なので、

(iii)と併せて[L:ℚ]=20。

(b)

x⁵-2の根は(⁵√2ζ₅)^m∈L (0≤m≤4)だから、

x⁵-2の分解体をM=F(⁵√2, ⁵√2ζ₅,(⁵√2ζ₅)², (⁵√2ζ₅)³,(⁵√2ζ₅)⁴)としてM⊂L。

⁵√2ζ₅/⁵√2=ζ₅よりζ₅∈MだからL⊂M。

したがってL=Mなので、Lはx⁵-2の分解体。

x⁵-2は分離多項式だから、定理6.2.1と(a)により|Gal(L/F)|=[L:ℚ]=20。

演習問題4

(a)

命題A.2.1により1,ζ_n,ζ_n²,..., ζ_n^n-1∈ℚ(ζ_n)はf=xⁿ-1の相異なる根だから、

fは分離的なので、ℚ⊂ℚ(ζ_n)は分離多項式の分解体。

(b)

命題6.1.4によりσ(ζ_n)はfの根だから、あるi(0≤i≤n-1)が存在してσ(ζ_n)=ζ_nⁱ。

(c)

σはF上恒等な体の自己同型なので、6.1節演習問題7により

F上のベクトル空間としてのℚ(ζ_n)の基底を1,ζ_n,ζ_n²,..., ζ_n^n-1として、

1=σ(1),σ(ζ_n),...,σ(ζ_n)^n-1はF上線形独立である。

いまgcd(n,i)=d>1とすると、n=n'd, i=i'd (n'<n, i'<i)と書けて、

1=1^i'=ζ_n^ni'=ζ_n^n'i'd=(ζ_nⁱ)^n'=σ(ζ_n)^n'となり、1とσ(ζ_n)^n'(n'<n)の線形独立性に反する。

したがってgcd(n,i)=1でなければならない。

(d)

ψ: σ→[i]とし(例A.1.2にあるように[i]はnを法とするiの合同類)、

σ,τ∈Gal(ℚ(ζ_n)/ℚ)、σ(ζ_n)=ζ_nⁱ, τ(ζ_n)=ζ_n^jとすると、

στ(ζ_n)=ζ_n^ijよりψ(στ)=[ij]。gcd(ij,n)=1だから[ij]∈(ℤ/nℤ)^*となるので、

ψは群準同型Gal(ℚ(ζ_n)/ℚ)→(ℤ/nℤ)^*となる。

ψ(σ)=[1]ならσ(ζ_n)=ζ_n。

σは自己同型だから任意のk (1≤k≤n-1)について、σ(ζ_n^k)=ζ_n^kなので、

σは恒等写像eでなければならない。

したがってKer(ψ)=eなので、ψは1対1。

(e)

(a)と定理6.2.1により|Gal(ℚ(ζ_n)/ℚ)|=[ℚ(ζ_n):ℚ]である。

またGal(ℚ(ζ_n)/ℚ)≃Im(ψ)より|Gal(ℚ(ζ_n)/ℚ)|=|Im(ψ)|なので、

[ℚ(ζ_n):ℚ]=|Im(ψ)|。

ψが群同型なら全射だからIm(ψ)=(ℤ/nℤ)^*となり

[ℚ(ζ_n):ℚ]=|Im(ψ)|=|(ℤ/nℤ)^*|=φ(n)。

逆に[ℚ(ζ_n):ℚ]=|Im(ψ)|=φ(n)=|(ℤ/nℤ)^*|とすると、

ψは(d)により1対1なのでこれはIm(ψ)=(ℤ/nℤ)^*を意味する。

したがってψは全射だから同型となりGal(ℚ(ζ_n)/ℚ)≃(ℤ/nℤ)^*。

(f)

pが素数ならφ(p)=p-1。命題4.2.5によりp次円分多項式Φ_pの次数はp-1で、

ℚ上既約だから、[ℚ(ζ_p):ℚ]=p-1=φ(p)。したがって(e)によりGal(ℚ(ζ_p)/ℚ)≃(ℤ/pℤ)^*。

演習問題5

(a)

5.3節演習問題15により、F(α)はF上既約なf∈F[x]の分解体だから、

定理6.2.1と命題4.3.4により|Gal(F(α)/F)|=[L:F]=deg(f)=p。

pは素数で、素数位数の群は巡回群だから、Gal(F(α)/F)≃C_p≃ℤ/pℤ。

(b)

fの根はα, α+1,..., α+p-1。σ∈Gal(F(α)/F)についてσ(α)=α+iなら、

命題6.2.1によりσは一意に定まる。

(c)

σは自己同型だからσ(α+j)=α+i+j (0≤j≤p-1)である。

φ: Gal(F(α)/F)→ℤ/pℤ (σ→[i])とすれば、

φ(σ)=[0]ならσ(α+j)=α+jが全てのjについて成り立つからσは恒等写像。

したがってφは1対1。

全ての[i]に対しφ(σ)=[i]となるσが(b)により一意に定まるから、

φは全射なので同型となり、Gal(F(α)/F)≃ℤ/pℤ。

演習問題6

fはF[x]の分離多項式でLはfの分解体だから、定理6.2.1により|Gal(L/F)|=[L:F]。

fはF上既約だから5.1節演習問題11によりn|[L:F]。

したがってnは|Gal(L/F)|を割る。