コブリッツ「楕円曲線と保型形式」 第1章§1.2の演習問題

※MathJaxの数式表示に少し時間がかかります。

1. 巻末ヒントの通り$y\to y/n^2$, $x\to x/n$

2.
(a) $v=t(u+1)$ ($u\ne-1$)を$u^2+v^2=1$に代入して整理すれば、$[(1+t^2)u-(1-t^2)](u+1) =0$だから$u=(1-t^2)/(1+t^2), v=2t/(1+t^2)$

(b) $n=XY/2=Z^2uv/2$より$n/Z^2=uv/2=t(1-t^2)/(1+t^2)^2$

(c) 点$(-t, (1+t^2)/Z$について、(b)により$(-t)^3-(-t) =t(1-t^2) =n[(1+t^2)/Z]^2$だから、この点は$ny^2=x^3-x$上にある。したがって演習問題1により$(-nt, n^2(1+t^2)/Z)$は$y^2=x^3-n^2x$上にある。

$X/Z=(1-t^2)/(1+t^2)$を$t^2$について解いて\[t^2=\frac{\displaystyle Z-X}{\displaystyle Z+X}\]なので\[1+t^2=\frac{\displaystyle 2Z}{\displaystyle Z+X}\]これより\[y=\frac{\displaystyle 2n^2}{\displaystyle Z+X}\]また\[\frac{\displaystyle x}{\displaystyle y}=-\frac{\displaystyle Zt}{\displaystyle n(1+t^2)} =-\frac{\displaystyle Y}{\displaystyle 2n}\]だから、\[x=-\frac{\displaystyle nY}{\displaystyle Z+X}\]

(d) 命題1.2との辻褄がわからない・・・。

(e) (c)の結果を用いて、巻末ヒントの通りの表を得る。

3.
(a)
$X$と$Y$の間の角を$\theta$、$A=\cos\theta, B=\sin\theta$とする。$n=BXY/2$、また余弦定理により$Z^2=X^2+Y^2-2AXY$である。命題1.1の証明と同様にして、\[\left(\frac{\displaystyle X\pm Y}{\displaystyle 2}\right)^2=\left(\frac{\displaystyle Z}{\displaystyle 2}\right)^2+\frac{\displaystyle n(A\pm1)}{\displaystyle B}\tag{1}\]なので、(1)の複号$+$の式と$-$の式を辺々かけて、$u=Z/2, v=(X^2-Y^2)/2$とし、$A^2+B^2=1$より$-B^2=(A+1)(A-1)$も用いれば\[v^2=u^4+\frac{\displaystyle 2nA}{\displaystyle B}u^2-n^2\tag{2}\]§1.2冒頭と同様に$x=u^2, y=uv$として、求める3次方程式\[y^2=x^3+\frac{\displaystyle 2nA}{\displaystyle B}x^2-n^2x\tag{3}\]を得る。

(b)
(a)の(3)式において、演習問題1の逆変換$y\to n^2y$, $x\to nx$を行えば、\[ny^2=x^3+\frac{\displaystyle 2A}{\displaystyle B}x^2-x\tag{4}\]である。$\lambda=B/(A+1)$なので、\[-\lambda+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \lambda}=\frac{\displaystyle 2A}{\displaystyle B}\tag{5}\]だから、(4)は\[ny^2=x(x-\lambda)\left(x+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \lambda}\right)\tag{6}\]となる。