コックス, リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 第2章§6の演習問題

演習問題1

小問a

Iはk[x₁,..., x_n]のイデアルだから§5系6により、

IのGröbner基底g₁,..., g_s∈k[x₁,..., x_n]が存在してI=<g₁,..., g_s>。

故に命題1によりf=g+r, g=∑_1≤i≤s a_i g_i∈Iとなるようなa₁,..., a_s, r∈k[x₁,..., x_n]が存在して、

rのどの項も、すべてのLT(g_i)で割り切れないから

§4補題2によりrのどの項も単項式イデアル< LT(g₁),..., LT(g_s)>に属さない。

g₁,..., g_sはGröbner基底だから定義により< LT(g₁),..., LT(g_s)>=<LT(I)>なので、

rのどの項も<LT(I)>に属さないから、再び§4補題2により、

rのどの項も<LT(I)>のすべての元で割り切れない。

小問b

命題1の一意性の証明と全く同様。

演習問題2

小問a

xy=y(x+z)-z(y-z)-z²。

小問b

xy=x(y-z)+z(x+z) -z²。

演習問題3

HTMLの制限により\overline(f)はfで表す。

全てのf∈Iについてf^G=0だから、LT(f)はどれかのLT(g₁),..., LT(g_s)で割れるので、

§4補題2によりLT(f)∈< LT(g₁),..., LT(g_s)>。

fはIの任意の元だから<LT(I)>⊂< LT(g₁),..., LT(g_s)>。

逆の包含関係は明らかなので<LT(I)>=<LT(g₁),..., LT(g_s)>となり、

GはIのGröbner基底。

演習問題4

r=f^G, r'=f^G'とする。

命題1により任意のfについてr, r'はG,G'によってそれぞれ一意に定まる。

さらにG,G'はIのGröbner基底なので、演習問題1の証明から、

単項式順序を固定すればr=r'。

演習問題5

小問a

LCM(LM(f),LM(g))=x²yz²なので、

定義4によりS(f,g)=[x²yz²/(4x²z)]f-[x²yz²/(xyz²)]g=3x²z⁴-(7/4)y³z。

小問b

LCM(LM(f),LM(g))=x⁴yz²、

S(f,g)=[x⁴yz²/(x⁴y)]f-[x⁴yz²/(3xz²)]g=(1/3)x³y²-z⁴。

小問c

LCM(LM(f),LM(g))=x⁷y²z、

S(f,g)=[x⁷y²z/(x⁷y²z)]f-[x⁷y²z/(2x⁷y²z)]g=2ixyz-2。

小問d

LCM(LM(f),LM(g))=xyz²、

S(f,g)=[xyz²/(xy)]f-(xyz²/z²)g=3xyz-z⁵。

演習問題6

単項式順序が異なると、S(f,g)を作った時に、

打ち消し合わせる項の選択が異なるから、S(f,g)も一般に異なる。

例えば演習問題5dでgrlex順序では、

LCM(LM(f),LM(g))=z³、S(f,g)=[z³/z³]f-(z³/z²)g=xy+3z²で、

lex順序と異なる。

演習問題7

f=LT(f)+f', g=LT(g)+g'とおけば、S(f,g)=(x^γ/LT(f))f'-(x^γ/LT(g))g'より、

multideg(LT(f)LT(g)S(f,g))= multideg(LT(f))+multideg(LT(g))+multideg(S(f,g))

=γ+max(multideg(f')+multideg(LT(g)), multideg(g')+multideg(LT(f))。

ここでmultideg(f')<multideg(LT(f))かつmultideg(g')<multideg(LT(g))だから、

multideg(LT(f))+multideg(LT(g))+multideg(S(f,g))

<γ+multideg(LT(f))+multideg(LT(g))なので、

multideg(S(f,g))< γを得る。

演習問題8

lex順序でf=-x²+y, g=-x³+zとすれば、

LCM(LM(f),LM(g))=x³, S(f,g)=-xy+z。

S(f,g)のどの項もLT(f)=-x²,LT(g)=-x³で割れないから、

BuchbergerのSペア判定条件により、{f,g}は<f,g>のGröbner基底でない。

演習問題9

問題文の「グレブナ基底であることを示せ」は、

「グレブナ基底であるかどうかを決定せよ」の誤訳だろう

（少なくとも原著第3版ではそう）。

小問a

grlex順序でf=x²-y, g=x³-zとして、LCM(LM(f),LM(g))=x³、S(f,g)=-xy+z。

S(f,g)のどの項もLT(f)=-x²,LT(g)=-x³で割れないから、

BuchbergerのSペア判定条件により、{f,g}は<f,g>のGröbner基底でない。

小問b

§2演習問題6から、invlex順序は変数順序が逆順のlex順序。

すなわちlex順序z>y>x。

f=-y+x², g=-z+x³として、結果的にS(f,g)は、

本文中のlex順序y>z>xと同様の計算になり、{f,g}は<f,g>のGröbner基底。

小問c

lex順序でf=xy²-xz+y, g=xy-z², h=x-yz⁴として

S(f,g)=-xz+yz²+y=-zh-yz⁵+yz+y。この余り-yz⁵-yz+yはLT(f), LT(g), LT(h)で割れないから

BuchbergerのSペア判定条件により、{f,g}は<f,g>のGröbner基底でない。

演習問題10

（著者コックス公式の第3版errata：88ページの項では、

問題文の仮定にさらに、「fとgは少なくとも2つの項を持つとする」

を付け加えろとのこと）

小問a

LM(f)とLM(g)が互いに素だからLCM(LM(f),LM(g))=LM(f)LM(g)で、

LC(f)=LC(g)=1よりLT(f)=LM(f), LT(g)=LM(g)だから、

S(f,g)=LT(g)f-LT(f)g=-(g-LT(g))f+(f-LT(f))g。

小問b

（著者コックス公式の第3版errata：88ページの項では、

S(f,g)≠0も示せという指示が追加）

fとgは少なくとも2つの項を持つので、f=LT(f)+f', g=LT(g)+g'とすれば、

multideg(f)>multideg(f')で、S(f,g)=-(g-LT(g))f+(f-LT(f))g=-g'f+f'g。

もしS(f,g)=0なら、-g'f+f'g=0だから、LT(-g'f)とLT(f'g)は打ち消しあうので、

§2演習問題11bより-LT(g')LT(f)+LT(f')LT(g)=0。

すなわちLT(g')LT(f)=LT(f')LT(g)となり、LT(f)|LT(f')LT(g)。

ところがLM(f)とLM(g)は互いに素だから、LT(f)∤LT(g)なので、

LT(f)|LT(f')でなければならない。

これはmultideg(f)≤multideg(f')を意味するから、multideg(f)>multideg(f')と矛盾。

したがってS(f,g)≠0。

上で示したことから、LT(-g'f)とLT(f'g)は打ち消し合わないから、

LT(S(f,g))=LT(-g'f+f'g)は、LT(-g'f)=-LT(g')LT(f)またはLT(f'g)=-LT(f')LT(g)に等しい。

したがってLT(S(f,g))はLT(f)またはLT(g)の倍元で、

LT(f),LT(g)とLM(f),LM(g)はkの定数倍の違いしかないから

LT(S(f,g))はLM(f)またはLM(g)の倍元。

演習問題11

x^δ=LCM(x^αLM(f), x^βLM(g))とする。

LT(x^αf)=x^αLT(f), LT(x^βg)=x^βLT(g)なので、

S(x^αf, x^βg)=[x^δ/(x^αLT(f))]x^αf-[x^δ/(x^βLT(g))]x^βg=(x^δ/LT(f))f-(x^δ/LT(g))g。

ここでx^γ=x^δ/LCM(LM(f),LM(g))とすれば、

明らかにδ≥multideg(LCM(LM(f),LM(g))だからx^γは単項式で、

S(x^αf, x^βg)= x^γS(f,g)を得る。

演習問題12

小問a

演習問題1によりf=f'+f^G, g=g'+g^G, f',g'∈Iと書ける。

f^G=g^Gなら、f-g=f'-g'∈I。

逆にf-g∈Iなら、GはGröbner基底なので系2により(f-g)^G=0で、

§3演習問題12により(f-g)^G= f^G-g^Gだからf^G=g^G。

小問b

§3演習問題12により明らか。

小問c

小問aと同様にf=f'+f^G, g=g'+g^G, f',g'∈Iとして、

fg=f'g'+f'g^G+f^Gg+f^Gg^Gで、f'g'+f'g^G+f^Gg∈Iだから問題文の式を得る

(HTMLの制限で書きにくい・・・)。