コックス「ガロワ理論」 14.2節の演習問題2

演習問題8

(a)

fの根のうちR_iに属するn個の根をα_i,j (1≤i≤m, 1≤j≤n)と書くと、

f_i=∏_1≤j≤n (x-α_i,j)である。

故にf=∏_1≤i≤m∏_1≤j≤n (x-α_i,j)= ∏_1≤i≤m f_i。

fは分離的なのでmn個のα_i,jはすべて異なるから、

この分解は一意的である。

すべての1≤i≤mについてσ(R_i)=R_iなるσ∈Gal(L/F)の集合をHとして、

σ∈Hの作用によってf_iの根はR_iの中だけで置換されるから、

f_iは不変。故にf_iの係数はσで固定されるので、

f_iの係数はL_H=Kに入るから、f_i∈K[x]。

(b)

(問題文のGal(K/L)はGal(K/F)の誤植)

fは非原始的だから、Gal(L/F) は系14.2.10によりS_m≀S_nの部分群に同型。

fは規約だから命題6.3.7により、

Gal(L/F) に対応するS_m≀S_nの部分群は可移なので、

σ∈Gal(L/F)に対し、σ(R_i)=R_τ(i)となるτ∈S_mが存在して、

σに(τ;μ₁,..., μ_n)∈S_m≀S_nが対応する。

自然な準同型(τ;μ₁,..., μ_n)→τを用いて、

σ→τによって写像φ: Gal(L/F)→S_mを定めると、明らかにφは群準同型。

Ker(φ)はσ(R_i)=R_iなるσ∈Gal(L/F)の集合だから(a)のHである。

したがってH⊴Gal(L/F)だから、

Galois対応によりF⊂L_H=KはGalois拡大で、H=Gal(L/K)となり、

さらに定理A.1.3（群準同型の基本定理）により

Gal(K/F)=Gal(L/F)/H=Gal(L/F)/Ker(φ)≃Im(φ)⊂S_m。

演習問題9

(a)

S_nの{1,...,n}への作用をτ∈S_n, i∈{1,...,n}についてτ·i=τ(i)で定義する。

Gにおけるi∈{1,...,n}の固定部分群をG_i⊂Gとすると、

Gは可移なので|G·i|=nだから、定理A.4.9（群の作用の基本定理）により|G|=n|G_i|。

τ∈G_iとすると、GはAbel群なので、任意のσ∈Gについて、

(τσ)·i=(στ)·i=σ·iだから、τ=eまたはσ=eだが、

後者はG={e}を意味するので、Gの可移性と矛盾する。

よってτ=eだからG_i={e}となるので|G|=n。

(b)

部分群H⊂Gをとる。l=|H·i|とし、

Hにおけるi∈{1,...,n}の固定部分群をH_i⊂Hとすると、

HはAbel群だから(a)と同様にH_i={e}となり|H|=l|H_i|=lなので、

定理A.1.1（Lagrangeの定理）により|G|=[G:H]|H|=[G:H]lだから、

k=[G:H]としてn=kl である。

H·i={i₁=i,...,i_l}とし、τ₁, τ₂∈Gとする。

Gにおけるτ₁, τ₂によるHの左剰余類τ₁H,τ₂Hについて、

あるτ₁h₁∈τ₁H (h₁∈H)に対し(τ₁h₁)·i=j∈(τ₂H)·iなら、

j=(τ₂h₂)·iなるh₂∈Hが存在するから、

(h₂^-1τ₂^-1τ₁h₁)·i =iとなるのでh₂^-1τ₂^-1τ₁h₁∈H_i={e}、

すなわちτ₂^-1τ₁=h₂h₁^-1⊂Hだから、τ₁∈τ₂Hとなり、故にτ₁H=τ₂H。

したがって、τ₁H≠τ₂Hなら(τ₁H)·i⋂(τ₂H)·i=∅となる。

そこでHによるGのk個の左剰余類への分解の代表系を{τ₁=e,τ₂,..., τ_k}とし、

R_m=(τ_mH)·i (1≤m≤k)とすれば、左剰余類分解に対応して、

{1,...,n}はk個の共通部分のないブロックR₁={i₁=i,...,i_l}, R₂,..., R_kに分割され

（大きさが等しいとは限らない）、(τ_mH)·i=R_mとなる。

以上により、|G|=nが素数ならk=1またはk=nだから、

定義14.2.5によりGは原始的。

逆にGが原始的なら、nの約数kはk=1またはk=nの可能性しかないから、

n=|G|は素数。

したがって、Gは原始的であることと、|G|が素数であることとは同値。

演習問題10

(a)

Φ_p(x)のℚ上の分解体はℚ(ζ_p)で、

(8.6)によりℚ⊂ℚ(ζ_p)はGalois拡大だから定理7.1.5により、

|Gal(ℚ(ζ_p)/ℚ)|=[ℚ(ζ_p):ℚ]=deg(Φ_p)=p-1。

また(8.6)によりGal(ℚ(ζ_p)/ℚ)はAbel群である。

命題6.3.1によりGal(ℚ(ζ_p)/ℚ)と同型なS_p-1の部分群Gが存在して、

|G|=p-1かつGはAbel群となり、

さらにΦ_p(x)は命題4.2.5によりℚ上規約だから、

命題6.3.7によりGは可移。

p>3ならp-1は素数でないから、以上と演習問題9(b)により、

Gは非原始的。よってΦ_pは非原始的。

(b)

p=3ならp-1=2は素数、p=2ならGalois群は自明だからである。

演習問題11

演習問題6より|C_p≀C_p|=p^p+1。

一方、|S_p²|=(p²)!=p^p+1n (gcd(p,n)=1)だから、

C_p≀C_pはS_p²のp-Sylow部分群。

演習問題12

（「fを標数0の体上の・・・」は「fを標数0の体F上の・・・」の書き落としだろう）

f∈F[x]は既約で、Fの標数は0だから命題5.3.7によりfは分離的。

fは非原始的だから、deg(f)=6に対し系14.2.10により、

fのGalois群はS₂≀S₃またはS₃≀S₂の部分群に同型。

S₂とS₃は定理8.4.5により可解だから、

演習問題4よりS₂≀S₃およびS₃≀S₂は可解なので、

命題8.1.3によりfのGalois群は可解。

Fの標数は0だから、定理8.5.3によりfはF上冪根で解ける。

deg(f)=8についても同様に、

fのGalois群はS₂≀S₄またはS₄≀S₂の部分群に同型だから可解。

deg(f)=9についても同様に、

fのGalois群はS₃≀S₃の部分群に同型だから可解。

演習問題13

(a)

fはF上規約なのでFの標数が0なら命題5.3.7により分離的。

Fの標数pが有限なら、pは2でも3でもないので、

p∤deg(f)=6だから、補題5.3.5により分離的。

(b)

x³-1=(x-1)Φ₃のF上の分解体をKとすると、

Fの標数が0なら1の原始3乗根ω∈Kが存在する。

Fの標数pが有限なら、pは2でも3でもないので、

gcd(p,3)=1だから補題5.3.5によりx³-1は分離的。

x³-1は根1,ω, ω²∈Kを持ち、ωは1の原始3乗根。

よってFの標数によらず1の原始3乗根ωが存在する。

fのF上の分解体をLとする。

αをfの一つの根とするとαω, αω²もfの根だから、

K⊂Lで、fの根全体は、Gal(L/F)によって置換される2つのブロック

R₁={α, αω, αω²}, R₂={β, βω, βω²}に分けることができる。よってfは非原始的。

fは規約で(a)により分離的だから、系14.2.10によりGal(L/F)≃G⊂S₂≀ S₃。

さらに演習問題6より|G|≤|S₂≀ S₃|=|S₂||S₃|²=2·6²=72。

(c)

L=F(α,β,ω)である。

α³,β³はx²+bx+c=0の根で、

α³∈Fまたはβ³∈Fならf=(x³-α³)(x³-β³)とF上可約となり、

fの規約性に反するから、α³∉Fかつβ³∉F。

故にα³,β³∈F(√(b²-4c))、[F(√(b²-4c)):F]=2である。

これより[F(α):F(√(b²-4c))]≤3, [F(β):F(√(b²-4c))]≤3だから、

定理4.3.8（塔定理）を用いて[F(α,β):F(√(b²-4c))]≤9なので、[F(α,β):F]≤18。

また[F(ω):F]=deg(Φ₃)=2だから、[L:F]=[F(α,β,ω):F]≤36。

よって定理7.1.5により|G|=|Gal(L/F)|=[L:F]≤36。

演習問題14

(a)

例14.2.11により、fは非原始的で根のブロックR₁, R₂,R₃を持ち、

すべての1≤i≤3について|R_i|=2。故に演習問題8の構成により、

K=L_H⊂L, H={σ∈Gal(L/F)|すべての1≤i≤3についてσ(R_i)=R_i}なる中間体Kが存在して、

K=L_H⊂LはGalois拡大となり、K上でf=f₁f₂f_3、

ただしf₁,f₂,f₃∈K[x]かつdeg(f_i)=|R_i|=2 (1≤i≤3)である。

(b)

演習問題13によりfは非原始的で根のブロックR₁, R₂を持ち、

すべての1≤i≤2について|R_i|=3。故に演習問題8の構成により、

K=L_H⊂L, H={σ∈Gal(L/F)|すべての1≤i≤2についてσ(R_i)=R_i}なる中間体Kが存在して、

K=L_H⊂LはGalois拡大となり、K上でf=f₁f_2、

ただしf₁,f₂∈K[x]かつdeg(f_i)=|R_i|=3 (1≤i≤2)である。

演習問題15

演習問題9とほぼ同様である。

S_nの{1,...,n}への作用をτ∈S_n, i∈{1,...,n}についてτ·i=τ(i)で定義する。

Gにおけるi∈{1,...,n}の固定部分群をG_i⊂Gとすると、

Gは可移なので|G·i|=nだから、定理A.4.9（群の作用の基本定理）により|G|=n|G_i|。

部分群G_i⊂H⊂Gをとる。l=|H·i|とすると、

|H|=l|G_i|なので、定理A.1.1（Lagrangeの定理）により

|G|=[G:H]|H|=[G:H]l|G_i|=n|G_i|だから、k=[G:H]としてn=kl である。

H·i={i₁=i,...,i_l}とし、τ₁, τ₂∈Gとする。

Gにおけるτ₁, τ₂によるHの左剰余類τ₁H,τ₂Hについて、

あるτ₁h₁∈τ₁H (h₁∈H)に対し(τ₁h₁)·i=j∈(τ₂H)·iなら、

j=(τ₂h₂)·iなるh₂∈Hが存在するから、

(h₂^-1τ₂^-1τ₁h₁)·i =iとなるのでh₂^-1τ₂^-1τ₁h₁∈G_i。

すなわちτ₂^-1τ₁∈h₂G_ih₁^-1⊂Hだから、τ₁∈τ₂Hとなり、故にτ₁H=τ₂H。

したがって、τ₁H≠τ₂Hなら(τ₁H)·i⋂(τ₂H)·i=∅となる。

そこでHによるGのk個の左剰余類への分解の代表系を{τ₁=e,τ₂,..., τ_k}とし、

R_m=(τ_mH)·i (1≤m≤k)とすれば、左剰余類分解に対応して、

{1,...,n}はk個の共通部分のないブロックR₁={i₁=i,...,i_l}, R₂,..., R_kに分割され

（大きさが等しいとは限らない）、(τ_mH)·i=R_mとなる。

以上により、k=1またはk=nならば定義14.2.5によりGは原始的で、

H=GまたはH=G_iなので、すべてのiに対しG_iはGの極大部分群。

逆にすべてのiに対しG_iがGの極大部分群なら、

H=GまたはH=G_iだから、k=1またはk=nなのでGは原始的である。

したがって、Gは原始的であることと、

すべてのiに対しG_iがGの極大部分群であることとは同値。