コックス「ガロワ理論」 14.3節の演習問題2

演習問題8

(a)

γ∘(γ')^-1:{1,..,l}→{1,..,l}は1対1かつ全射だから、

{1,..,l}の置換なのでσ=γ∘(γ')^-1∈S_l。

(b)

例によってHTMLの制限のため\hat{σ}をσで表す。

φ∈S(T)を任意として、σ∘γ'(φ)=σ(γ'∘φ∘(γ')^-1)=σ∘γ'∘φ∘(γ')^-1∘σ^-1

=γ∘(γ')^-1∘γ'∘φ∘(γ')^-1∘γ'∘γ^-1=γ∘φ∘γ^-1=γ(φ)だから、γ=σ∘γ'。

演習問題9

T={1,..,n}とする。S(T)=S_nである。

σ_i∈Hに対し、γ(σ_i)=iでγ:H→Tを定義すると、

明らかにγは1対1で、7.4節Cから|H|=|G|=nだからγは全射。

σ_j∈Hを一つ固定すると、γ(φ_σj)=γ∘φ_σj∘γ^-1についてγ∘φ_σj∘γ^-1(i)=γ∘φ_σj(σ_i)=γ(σ_jσ_i)で、

σ_jσ_i=σ_k∈Hとなるk∈Tが、GのCayley表から唯一つ定まるのでγ∘φ_σj∘γ^-1(i)=k。

異なるiに対しkは全て異なるので、

γ∘φ_σj∘γ^-1はGのCayley表から定まるTの置換となるから、

γ∘φ_σj∘γ^-1∈H⊂S(T)=S_nとなるので、γ:{φ_σj|σ_j∈H }→H⊂S(T)=S_nとなるから、

HはS_nにおいて正則。

演習問題10

(a)

γは1対1で全射だから、|G|=l。

γは同型でIm(γ)=Gだから|{φ_g|g∈G}|=|G|=lである。

γは同型だから、g₁∈Gに対しg₁=γ(φ_g)となるφ_g∈S(G)が存在する。

そこでGの{1,...,l}への作用をg₁·i=γ(φ_g)·i=γ∘φ_g∘(γ^-1(i))=γ(gγ^-1(i)) (i∈{1,...,l})

によって定義すると、γ(φ_g)·i=iとなるとき、γは1対1で全射なので、

gγ^-1(i)=γ^-1(i)だから、g=eとなり、したがってγ(φ_e)=eである。

故にG_i={e}なので、定理A.4.9（群の作用の基本定理）により、

|G·i|=|G|/|G_i|=|G|=lだから、G·i={1,...,l}。

iは任意だからGは可移で、Gの固定部分群は全て{e}なので自明。

(b)

Gは可移だから|G·1|=l。

Gの固定部分群は自明だから、1の固定部分群G₁={e}なので、

定理A.4.9（群の作用の基本定理）により|G|=|G·1||G₁|=lである。

Gは可移なので、任意のi∈{1,...,l}に対しi=τ(1)=γ(τ)となるτ∈Gが存在する。

したがってγは全射で、しかも|G|=|Im(γ)|=lだからγは1対1。

(c)

(a)により任意のi∈{1,...,l}に対し、i=τ_i(1)となるτ_i∈Gが唯一つ存在し、

γ^-1(i)=τ_iだから、任意のg∈G⊂S_lについて、

γ(φ_g)(i)=γ∘φ_g∘γ^-1(i)=γ(gγ^-1(i))=γ(gτ_i)=gτ_i(1)=g(i)となるのでγ(φ_g)=g。

したがってγによって{φ_g| g∈G }はGへ写るからGは正則。

演習問題11

(a)

F_pⁿにおけるスカラー倍は加法から構成できるのだから、

F_pⁿにおいて加法について閉じている部分集合は全て部分空間である。

すなわち加法群としてのF_pⁿの任意の部分群は部分空間。

(b)

γは群準同型だから任意のu,v∈F_pⁿについてγ(u+v)=γ(u)+γ(v)で、

F_pⁿにおけるスカラー倍は加法から構成できるので、

スカラー倍の算法も保たれる。よってγは線型。

演習問題12

(a)

（AGL(n,F_p)は可解とは限らないので、Gも可解とは限らず、

したがってF_pⁿはGの正規部分群とは限らないから、

定理14.3.16の証明の話はそのままでは使えない。）

G⊂AGL(n,F_p)だから、Gの任意の元はγ_A,vと書ける。

Gにおける0∈F_pⁿの固定部分群をG₀とすると、

任意のg=γ_A,v∈G₀⊂Gについてg·0=A0+v=v=0だからg=γ_A,0∈GL(n,F_p)なので、

G₀⊂G⋂GL(n,F_p)。逆に任意のγ_A,0∈GL(n,F_p)に対しγ_A,0·0=0は明らかだから、

G₀=G⋂GL(n,F_p)である。したがって、

GのVヘの作用はG₀の元による線形変換γ_A,0と、

F_pⁿの元による平行移動γ_In,vとの合成となる。

すべてのg∈G₀についてg(V) ⊂Vだが、gは正則な線形変換だから、

g(V) =Vである。よってG₀の元による線形変換によってVは不変だから、

任意のv∈F_pⁿについて、g(v+V)=Av+V。

演習問題11(a)と同様に、F_pⁿにおけるスカラー倍は加法から構成できるのだから、

F_pⁿの任意の部分空間は、加法について閉じているので、

加法群としてのF_pⁿの部分群になる。

R₁=V,...,R_kをF_pⁿの加法群としての部分群Vのすべての剰余類とすると、

1<|V|=|R₁|=...=|R_k|<pⁿである。

任意のv∈F_pⁿについて、v+Vはどれかの剰余類と等しい集合だから、

F_pⁿの作用による平行移動によってR₁,...,R_kのブロック構造は保たれる。

また前の段落で示したことから、G₀の元の作用による一次変換によって、

R₁=Vは不変で、他の剰余類は別の剰余類に移るから、

R₁,...,R_kのブロック構造は保たれる。

したがって、GのVヘの作用によってR₁,...,R_kのブロック構造は保たれ、

1<|V|=|R₁|=...=|R_k|<pⁿだから、Gは非原始的。

(b)

演習問題2(b)によりすべてのγ_A,w∈Gとγ_In,v∈F_pⁿについて

γ_A,w∘γ_In,v∘γ_A,w^-1=γ_In,Av∈F_pⁿだからF_pⁿ⊴ G。

G⊂AGL(n,F_p)だから、G/F_pⁿはGにおける線形変換からなる。

したがって(a)で示したことによりG/F_pⁿ≃G⋂GL(n,F_p)=G₀。

F_pⁿはAbel群だから命題8.1.5により可解。

故に定理8.1.4によりGが可解であることと、

G/F_pⁿ≃G₀が可解であることとは同値。