相似の導入のあれこれ3. ユークリッドの場合

ユークリッド
原論

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ユークリッド「原論」では6巻冒頭。相似の定義は定義6-1。

相似な直線図形とは角がそれぞれ等しく

かつ等しい角を挟む辺が比例するものである。

つまり直線図形のみについて、辺の比例が天下り的に与えられる比例派。

上の定義を元にした、三角形の相似3条件の証明の主な材料は、

• 平行線と同位角（1巻命題1-29）
• 三角形の等積変形と平行線の関係（1巻命題1-37, 1-39） 
• 平行四辺形の対辺・対角は等しい（1巻命題1-34）
• 5巻で導入された比例の理論（現代的には単なる式変形） 
• 図形の位置・向きは移すことができる（暗黙の前提）

特に平行線と三角形の等積変形の関係が、

三角形の相似条件の証明に重要な役割を果たす。

まず「相似なら三角相等・三辺比相等・二辺比夾角相等」は、

定義6-1により明らか。

逆を証明するため、まず命題6-1

「高さを固定した三角形の面積は底辺に比例する」を証明（略）。

次に命題6-2。

「右図でDE∥BCならAD/DB=AE/EC。

逆にAD/DB=AE/ECならDE∥BC」

証明）

命題6-1により△AEBにおいて△ADE/△BDE=AD/DB (1)、

△ADCにおいて△ADE/△CDE=AE/EC (2)である。

DE∥BCなら命題1-37により△BDE=△CDEだから、

△ADE/△BDE=△ADE/△CDE。(1)(2)によりAD/DB=AE/EC。

逆にAD/DB=AE/ECなら(1)(2)により△ADE/△BDE=△ADE/△CDEなので、

△BDE=△CDEだから、命題1-39によりDE∥BC。（証明終）

命題6-4「三角相等なら相似」

証明）三角相等な2つの三角形を適当に移動して、

B,C,Eが一直線上にある2つの三角形△ABCと△DCEとする。

ただし∠A, ∠B, ∠ACBが∠D, ∠DCE, ∠Eに

それぞれ対応する等しい角である。

さらに直線BAと直線EDの交点をFとする。

∠DCE=∠Bより同位角が等しいので命題1-29によりBF∥CDだから、

命題6-2によりBC/CE=FD/DE (1)。

∠CED=∠BCAより同位角が等しいので命題1-29によりAC∥FEだから、

命題6-2によりBC/CE=AB/AF (2)。

(1)(2)よりFD/DE=AB/AF (3)

四角形ACDFは平行四辺形だから命題1-34により

FD=AC、AF=DC。これらを(3)に代入してAC/DE=AB/DC。

よってAB/AC=DC/DE。

同様に適当に三角形を移動することで、他の辺の比例関係も示される。（証明終）

この命題6-4を元にして、

命題6-5 「三辺比相等なら相似」と命題6-6「二辺比夾角相等なら相似」は、

条件を満たす三角形1、三角形2について、

三角形1と三角相等で一つの辺が三角形2と共通な三角形3を考え、

三角形2と三角形3の合同を証明することで、

三角形1と三角形2が三角相等であることを証明する（略）。

平行線の性質を過不足なく使った、すっきりとした論理だと思う。

三角形の等積変形を基礎にしている点で、中2初等幾何からの流れにも乗せられる。

まあ面積を基盤にしている点で、測度をそもそもどう導入するのかとか、

ややこしいことを言い出したらとたんに弱くなるが、

むしろ中学数学では三角形の面積は、

当然の事項として生徒は受け入れていると思っていいから、これで十分強力。

ただ、そもそも最初の相似の定義6-1が、「同じ形」概念と乖離しているので、

ユークリッドの言う「相似」が、生徒の中でこなれないだろう。

引き続き問題演習を沢山やって、なんとなくでいいから納得させないといけない。

あと立体直線図形の相似（定義11-9）については、

平面図形の相似を元にした複雑な定義になっていて、

ユークリッド11巻後半～12巻の立体図形の相似の運用は、恐ろしく複雑。

12巻の取り尽くし法の運用に定義11-9は便利だったのかもしれないが、

今時、いきなり取り尽くし法でもないしなあ。

それでなくても3次元ユークリッド空間の体積測度については、

突っ込むとややこしい（ヒルベルト第3問題やらバナッハ・タルスキーの定理やら）し、

ユークリッドそのままの立体理論は中学レベルでは到底手が出せない。

てか11巻以降って、ホントに19世紀までの中等教育の幾何学教授で使えてたんか？

ただでさえ10巻の無理数理論で子供たちは息も絶え絶えだったろうに。