コックス, リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 第3章§2の演習問題

演習問題1

補題1によりπ₁(V)⊂V(I₁)だから、V(I₁)=π₁(V)⋃(V(I₁)∖π₁(V))。

π₁(V)の定義によりV(I₁)∖π₁(V)は、(a₁, a₂,..., a_n)∈Vとなるような

a₁∈ℂが存在しないような(a₂,...,a_n)∈V(I₁)からなる。

これは拡張定理の対偶から、(a₂,...,a_n)∈V(g₁,..., g_s)を意味するから、

V(I₁)∖π₁(V)⊂(V(g₁,...,g_s)⋂V(I₁))。

(a₂,...,a_n)∈(V(g₁,...,g_s)⋂V(I₁))かつ(a₂,...,a_n)∉(V(I₁)∖π₁(V))となるような

(a₂,...,a_n)∈V(I₁)について、このときは(a₂,...,a_n)∈π₁(V)となるから、

π₁(V)⋃(V(I₁)∖π₁(V))=π₁(V)⋃(V(g₁,...,g_s)⋂V(I₁))となるので、

V(I₁)= π₁(V)⋃(V(g₁,...,g_s)⋂V(I₁))。

演習問題2

xy-1=(1-x)[(y-z)x²+xy-1]+x[(y-z)x²+xz-1],

xz-1=-x[(y-z)x²+xy-1]+(x+1)[(y-z)x²+xz-1]により、

xy-1, xz-1∈<(y-z)x²+xy-1,(y-z)x²+xz-1>だから、

第1章§4演習問題2により<xy-1, xz-1>⊂<(y-z)x²+xy-1,(y-z)x²+xz-1>。

(y-z)x²+xy-1=(x+1)(xy-1)-x(xz-1),

(y-z)x²+xz-1=x(xy-1)-(x-1)(xz-1)により

(y-z)x²+xy-1,(y-z)x²+xz-1∈<xy-1,xz-1>だから、

第1章§4演習問題2により<(y-z)x²+xy-1,(y-z)x²+xz-1>⊂<xy-1, xz-1>。

したがって<(y-z)x²+xy-1,(y-z)x²+xz-1>=<xy-1,xz-1>。

Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: expand((y-z)*x^2+x*y-1);

f2: expand((y-z)*x^2+x*z-1);

poly_reduced_grobner([f1,f2],[x,y,z]);

-----

によりlex順序での<xy-1,xz-1>の簡約Gröbner基底は{xz-1,y-z}だから、

I₁=<y-z>なので、y-zはV(I₁)の全ての部分解上で0。

演習問題3

小問a

Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: y*x^3+x^2;

f2: y^3*x^2+y^2;

f3: y*x^4+x^2+y^2;

poly_reduced_grobner([f1,f2,f3],[x,y]);

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によりlex順序でのIの簡約Gröbner基底は{x²,y²}。

したがってI₁=<y²>。

小問b

小問aによりV(I₁)={0}、またg₁=y, g₂=y³, g₃=yよりV(g₁,g₂,g₃)={0}だから、

V(I₁)=V(g₁,g₂,g₃)=V(I₁)⋂V(g₁,g₂,g₃)。

小問c

HTMLの制限により\tilde(I)をIで表す。

小問bによりg₁=y∈Iだが、小問aによりI=<x²,y²>なので、

g₁∉IだからI≠I。またV(I)={(0,0)}。

I =<x²,y²,y,y³>=<x²,y>だからV(I)={(0,0)}なのでV(I)=V(I)。

I₁=<y>だからV(I₁)={0}なので小問bよりV(I₁)=V(I₁)。

小問d

I =<yx³+x², y³x²+y², yx⁴+x²+y²,y,y³>=<yx³+x², y³x²+y², yx⁴+x²+y²,y>

に定理3の証明の手続きを行うと、

I =<x²,y²,x²+y²,y>=<x²,x²+y²,y>。

x²,x²+y²の先頭項を0にするyは存在しないからW=∅≠V(I₁)={0}。

演習問題4

定義により全てのiについてf_i∈<f₁,..., f_s, g₁,..., g_s>だから、

<f₁,..., f_s, g₁,..., g_s>⊂<f₁,..., f_s, g₁,..., g_s>。

f_i= f_i-h_ig_iだからf_i∈<f₁,..., f_s, g₁,..., g_s>なので

<f₁,..., f_s, g₁,..., g_s>⊂<f₁,..., f_s, g₁,..., g_s>。

したがって<f₁,..., f_s, g₁,..., g_s>=<f₁,..., f_s, g₁,..., g_s>。

定理3の証明で使われたのはh_i=-x₁^N_iの場合である。

演習問題5

小問a

Iの生成元の、lex順序での先頭項は0でない定数だから、

先頭項を0にするy,zは存在しないので、

幾何学的拡張定理のV(g₁,g₂)=∅だからV(I₁)=π₁(V)。

小問b

ℝでは拡張定理が使えないので、まじめに計算。

Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: x^2+y^2+z^2+2;

f2: 3*x^2+4*y^2+4*z^2+5;

poly_reduced_grobner([f1,f2],[x,y,z]);

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によりlex順序でのIの簡約Gröbner基底は{x²+3,y²+z²-1}。

x²+3=0となるx∈ℝは存在しないから、

第2章§5命題9によりV(I)=V(x²+3,y²+z²-1)=∅。

消去定理によりI₁=<y²+z²-1>だから、V(I₁)はyz平面での単位円。

んーと、V=V(I)=∅から第1章§4命題8によりI(V)=ℝ[x,y,z]ではあるが、

「はるかに大きい」てのはこの辺を言ってるのかな？