コックス, リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 第3章§3の演習問題

演習問題1

i: k^m→k^m+n ((t₁,...,t_m)↦ (t₁,...,t_m,f₁(t₁,...,t_m),..., f_n(t₁,...,t_m))において

f₁,...,f_nは多項式だから、全ての(t₁,...,t_m)∈k^mにおいて定義されている。

π_m: k^m+n→kⁿ ((t₁,...,t_m, x₁,...,x_n)↦ (x₁,...,x_n))も、

全ての(t₁,...,t_m, x₁,...,x_n) ∈k^m+nで定義されているので、

F: k^m→kⁿ ((t₁,...,t_m)↦ (f₁(t₁,...,t_m),..., f_n(t₁,...,t_m))はF=π_m∘iで与えられる。

Vの定義によりIm(i)=Vは明らか。

演習問題2

(2)のf₁,...,f_nは多項式だから、

全ての(t₁,...,t_m)∈k^mにおいて定義されているのでV≠∅。

さらに(4)によりπ_m(V)=F(ℂ^m)だから、閉包定理により、

アフィン多様体W⊊V(I_m)が存在してV(I_m)-W⊂π_m(V)=F(ℂ^m)

演習問題3

x=t²(t∈ℝ)でパラメター表示されるℝ¹内の点集合について、

F(ℝ)はx≥0となる点の集合。

I=<t²-x>とすればI₁={0}なので、V(I₁)=ℝ。

もしあるf₁,...,f_sが存在して、W=V(f₁,...,f_s)について、

演習問題2が成り立ったとすると、

f₁,...,f_sはx<0となる無限個の根を持たねばならない。

しかしℝは無限体なのでf₁=...=f_s=0でなければならないから、

W=ℝ=V(I₁)となり、W≠V(I₁)と矛盾。

したがって演習問題2を満たすWは存在しない。

演習問題4&5

g₁,..., g₇のうち、tを含むのはg₁だけだから、

I₁=<g₂,g₃,g₄,g₅,g₆,g₇>である。

I₂は§1演習問題1bによりI₁の1次の消去イデアルで、

g₂のuの先頭項の係数は定数なので、

§1系4により任意の(x,y,z)∈V(I₂)⊂ℂ³について、

g₂,g₃,g₄,g₅,g₆を同時に満たすu∈ℂが存在する。

とくに(x,y,z)∈ℂ³について、g₃の根となるu∈ℂが定まり、

このuはg₂,g₃,g₄,g₅,g₆を同時に満たす。

もし(x,y,z)∈ℝ³なら、g₃はuの実係数一次式となるから、

u∈ℝとなり、かつこのuは一意である。

したがってこのとき(u,x,y,z)∈ℝ⁴。

同様にI₁からIへの拡張においても、g₁がtの1次式で、

先頭係数が定数であることから、(u,x,y,z)∈ℝ⁴なら、

g₁,..., g₇を同時に満たすt∈ℝが一意に定まり、(t,u,x,y,z)∈ℝ⁵。

演習問題6

小問a

ℂ[u,v,x,y,z]におけるI=<x-uv, y-u², z-v²>の簡約Gröbner基底は、Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: x-u*v;

f2: y-u^2;

f3: z-v^2;

poly_reduced_grobner([f1,f2,f3],[u,v,x,y,z]);

-----

で計算すれば{uv-x, u²-y, v²-z, ux-vy, uz-vx, x²-yz}なので、

消去定理によりI₂=<x²-yz>だから定理1によりV=V(I₂)。

第2章§5命題9によりV(I₂)=V(x²-yz)なので、

Vの方程式はx²-yz=0。

小問b

I₁=<v²-z,x²-yz>で、v²-zのvの最高次の係数は定数だから、

§2系4により任意の(x,y,z)∈V(I₂)⊂ℂ³について、

V(I₁)へ拡張することができ、さらにIの基底の一つ

u²-yのuの最高次の係数も定数だから、

同様に任意の(v,x,y,z)∈V(I₁)⊂ℂ⁴について、V(I)へ拡張することができる。

したがってπ₂(V(I))=V(I₂)=Vとなり、S=π₂(V(I))だからS=V。

小問c

u,v∈ℝなら、y,z≥0だが、(x,y,z)∈ℝ³がx²-yz=0を満たせば、

(x,-y,-z)∈ℝ³も満たすので、y,z<0となるVの"半分"がSから欠けている。

欠けた"半分"を覆うために、uの代わりにiu, vの代わりにivとおいて、

x=-uv, y=-u², z=-v²とすればよい。

演習問題7

小問a

演習問題6aと同様に計算して、

I=<x-uv, y-uv², z-u²>の簡約Gröbner基底は

{ uv-x, u²-z, ux-vz, uy-x², vyz-x³, v²z-x², vx-y, x⁴-y²z}だから、

I₂=<x⁴-y²z>, I₁=< vyz-x³, v²z-x², vx-y, x⁴-y²z>。

Vの方程式はx⁴-y²z=0。

小問b

x=z=0のときI₁の生成元のvの0でない最高次の項が全て消えるので、

S上にないVの点は直線x=z=0 (y軸)上にある。

Sのパラメター表示においてx=z=0となるのはu=0の時で、

このときy=0となるから、(0,0,0)以外のy軸上の点はすべてSに含まれない。

演習問題8

（問題文のxのパラメター表示の右辺第2項+3yv²は+3uv²の誤植

（原著第3版で確認。））

小問a

演習問題6aと同様に計算して、Vの方程式は

0=x⁶-3x⁴y²+(5/9)x⁴z³+6x⁴z²-3x⁴z

+3x²y⁴+(26/9)x²y²z³+6x²y²z+(16/243)x²z⁶+(16/9)x²z⁵+(80/9)x²z⁴-16x²z³

-y⁶+(5/9) y⁴z³-6 y⁴z²-3 y⁴z-(16/243)y²z⁶+(16/9)y²z⁵-(80/9)y²z⁴-16y²z³

-(64/19683)z⁹+(128/243)z⁷-(64/3)z⁵。

小問b

I₁のGröbner基底に、v⁴+vz/2+v/2-y/2が含まれており、

vの最高次の係数が定数だから、

拡張定理によりV=V(I₂)の全ての点はV(I₁)へ拡張できる。

さらにIのGröbner基底にu²-v²-z/3が含まれているので、

同様にしてV(I₁)の全ての点はV(I)へ拡張できる。

したがってπ₂(V(I))=V(I₂)=Vとなり、S=π₂(V(I))だからS=V。

演習問題9

小問a

演習問題6aと同様に計算して、最小の多様体Vの方程式は

x²-y²z=0。

小問b

I₁のGröbner基底は{v-y, x²-y²z}で、

v-yのvについての最高次の係数は定数だから、

拡張定理によりV=V(I₂)の全ての点はV(I₁)へ拡張できる。

IのGröbner基底にはu²-zが含まれているから同様にして、

V(I₁)の全ての点はV(I)へ拡張できる。

したがってπ₂(V(I))=V(I₂)=Vとなり、ℂ上で傘全体を覆うことが出来る。

パラメター表示から、u∈ℝならz<0の点は覆うことができない。

Vの方程式x²-y²z=0においてz<0ならx=y=0だから、

Vに含まれるうち、z軸の負の部分がℝ上で欠ける。

小問c

z=u²より一般にz>0ならuは2つ決まる。

とくにx=y=0のときはv=0で、このときu=±√zに対し

(0,0,z)は同じ点となる。

したがってx=y=0かつz>0では一意ではなく、

これは傘曲面が交差する点に対応する。

演習問題10

小問a

f₁(t),...,f_n(t)はtの多項式なので、tの最高次の係数はℂの定数だから、

系4によりV=V(I)⊂ℂⁿ⁺¹としてπ₁(V(I))=V(I₁)となる。

したがって、曲線π₁(V(I))はV(I₁)の全ての点を覆う。

小問b

第1章§3の、単位円x²+y²=1に対するパラメター付け

x=(1-t²)/(1+t²), y=2t/(1+t²)は、(-1,0)を覆わないので反例となる。

小問c

演習問題3のI=<t²-x>とすればI₁={0}なので、V(I₁)=ℝだが

π₁(V(I))は曲線x≥0だから反例となる。

演習問題11

小問a

fgはすべてのk^mの点で0となるから零函数。

kは無限体だから、第1章§1命題5によりfg=0。

g≠0だからf=0。

小問b

定理2の証明にヒントにあるように、

(4)の代わりに(8)を用い、小問aのk^m-W上消える多項式は0であることを、

kとℂとを行き来するところで使えばよい。

演習問題12

小問a

ℂ[u,v,x,y,z]におけるI=<u²-vx, uy-v², u-z>の簡約Gröbner基底は、Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: v*x-u^2;

f2: u*y-v^2;

f3: z-u;

poly_reduced_grobner([f1,f2,f3],[u,v,x,y,z]);

-----

で計算すれば{u-z, vx-z², v²-yz, vz²-xyz, x²yz-z⁴}なので、

消去定理によりI₂=<x²yz-z⁴>=<z(x²y-z³)>

小問b

W=V(uv)=V(u)⋃V(v)だから、W={(u,v)∈ℂ²| u=0またはv=0}なので、

ℂ²-W={(u,v)∈ℂ²| uv≠0}。

したがって(5)によりi(ℂ²-W)={(u,v,x,y,z)∈ℂ⁵| uvxyz≠0}。

jの定義によりj(ℂ²-W)={(1/uv,u,v,x,y,z)∈ℂ⁶| uvxyz≠0}だから、

π₁(j(ℂ²-W))={(u,v,x,y,z)∈ℂ⁵| uvxyz≠0}=i(ℂ²-W)。

また(8)の上の議論からj(ℂ²-W)=V(J)なのでπ₁(V(J))=i(ℂ²-W)。

すると閉包定理によりV(J₁)はi(ℂ²-W)をふくむ最小のアフィン多様体。

新たな変数wを用い、ℂ[w,u,v,x,y,z]において(7)～(8)式の手続きに従うと、

J=<u²-vx, uy-v², u-z, uvw-1>の簡約Gröbner基底は、

小問aと同様にMaximaで計算して、

{ wz³-x, wyz²-v, wxy-1, u-z, vx-z², v²-yz, vz-xy, x²y-z³}。

これよりJ₁=<u-z, vx-z², v²-yz, vz-xy, x²y-z³>。

u²-vx=-(vx-z²)+(u+z)(u-z)とvx-z²=-(u²-vx)+(u+z)(u-z)、

およびuy-v²=-(v²-yz)+y(u-z)とv²-yz=-(uy-v²)+y(u-z)から、

J₁=<u-z, u²-vx, uy-v², vz-xy, x²y-z³>。

したがって第2章§5命題9によりV(J₁)=V(u-z, u²-vx, uy-v², vz-xy, x²y-z³)。

以上によりi(ℂ²-W)をふくむ最小のアフィン多様体は、

V(u-z, u²-vx, uy-v², vz-xy, x²y-z³)。

小問c

(0,0,x,y,0)でIの生成元は全て消えるから{(0,0,x,y,0)}⊂V(I)。

I⊂J₁なのでV(u-z, u²-vx, uy-v², vz-xy, x²y-z³)⊂V(I)だが、

xy≠0ならvz-xy, x²y-z³は(0,0,x,y,0)で消えないので、

(0,0,x,y,0)∉V(u-z, u²-vx, uy-v², vz-xy, x²y-z³)。

したがってV(u-z, u²-vx, uy-v², vz-xy, x²y-z³)⊊V(I)なので、

小問bによりV(I)はi(ℂ²-W)をふくむ最小のアフィン多様体でない。

小問d

Jの簡約Gröbner基底{ wz³-x, wyz²-v, wxy-1, u-z, vx-z², v²-yz, vz-xy, x²y-z³}から、

J₃=<x²y-z³>, J₂=<vx-z², v²-yz, vz-xy, x²y-z³>。

v²-yzのvの最高次の係数が定数なので拡張定理により、

V(J₃)の任意の点はV(J₂)へ拡張でき、π₁(V(J₂))=V(J₃)。

J₁=<u-z, vx-z², v²-yz, vz-xy, x²y-z³>についても、

u-zのuの最高次の係数が定数なので拡張定理により、

V(J₂)の任意の点はV(J₁)へ拡張でき、π₁(V(J₁))=V(J₂)。

Jの基底のwの最高次の係数は、

z=0かつ xy=0のときに限りすべて0となる。

従ってV(J₃)の任意の点のうち、x軸上とy軸上の点のみ、

(5)でパラメター表示されない。

演習問題13

図式(7)においてm=1。g∈k[t]なので第1章§5系3により、

Wは高々deg(g)個の要素から成る有限集合で、k-W上で常にg_i≠0。

(t,x₁,...,x_n)∈V(I)なら、すべてのiについてg_i(t)x_i-f_i(t)=0なので、

もしg_i(t)=0ならf_i(t)=0だが、

各iについてf_i,g_i∈k[t]は互いに素だから、

g_i(t)とf_i(t)は同時に0になることはないので、この場合は起こり得ない。

すなわちg_i(t)≠0だからt∉k-Wかつx_i=f_i(t)/g_i(t)となり、

故に図式(7)において(t,x₁,...,x_n)∈i(k-W)。したがってV(I)⊂i(k-W)。

逆の包含関係は明らかだからV(I)=i(k-W)なのでF(k-W)=π₁(V(I))。

あとは定理1の証明と同様に進めることができる。

もしkが代数的閉体なら、V(I)⊂kⁿ⁺¹から閉包定理により、

V(I₁)はπ₁(V(I))=F(k-W)⊂kⁿを含む最小のアフィン多様体となり証明が終わる。

kが代数的閉体でないときは、k⊂Kとなる代数的閉体を考え、

定理1の証明と同様にkとKを多様体の添字とする。

Kにおいてg=0となる元の集合をUとする。

§2補題1よりπ₁(V_k(I))⊂V_k(I₁)である。

Z_k=V_k(h₁,...,h_s)⊂kⁿについてF(k-W)⊂Z_kとなったとすると、

F(k-W)上でh_i=0だから、各h_i∘Fはk-W全体で消える。

各h_iは多項式で、任意のt∈k-WについてF(t)=(f₁(t)/g₁(t),..., f_n(t)/g_n(t))だから、

h_i∘F(t)は分母にg₁(t),..., g_n(t)だけを含む有理式である。

すなわち、各h_i∘Fの分母は0にならず、分子のn_i∈k[t]がk-W全体で消える。

Wは有限集合でkは無限体だからk-Wは無限集合なので、

n_iは無限個のtに対して0となる。

故に第1章§1命題5から全てのn_i=0でなければならない。

したがってk-Wにおいてh_i∘Fは零多項式である

するとh_i∘FはK-U上でも零多項式となるから、

F(K-U)上で全てのh_iは消えるので、

Z_K=V_K(h₁,...,h_s)⊂KⁿはF(K-U)を含むKⁿの多様体。

Kは代数的閉体だから、上で示したことによりV_K(I₁)⊂Z_Kとなる。

kⁿにある解のみを取ることにより、V_k(I₁)⊂Z_k。

したがって、V_k(I₁)はπ₁(V_k(I))=F(k-W)⊂kⁿを含む最小のアフィン多様体

演習問題14

小問a

3tとt³+1, 3t²とt³+1はそれぞれ互いに素だから、

演習問題13により単に分母を払った多項式のイデアル

I=<(t³+1)x-3t, (t³+1)y-3t²>の簡約Gröbner基底を求めればよい。Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: (1+t^3)*x-3*t;

f2: (1+t^3)*y-3*t^2;

poly_reduced_grobner([f1,f2],[t,x,y]);

-----

により、Iの簡約Gröbner基底として{t²y-3t+x, tx-y, ty²+x²-3y, x³-3xy+y³}

が得られるので、I₁=<x³-3xy+y³>だから、

Descartesの葉線の方程式はx³-3xy+y³=0。

小問b

ℂにおいては、演習問題13によりV(I₁)は、

F(ℂ-{-1,-ω,-ω²})=π₁(V(I))を含む最小の多様体。

tを含むIの簡約Gröbner基底のtの最高次は、

x=y=0以外では同時に0とならないので、

拡張定理によりV(I₁)=π₁(V(I))⋂{(0,0)}だが、

t=0のときx=y=0だから、(0,0)∈π₁(V(I))となるので、

V(I₁)=π₁(V(I))=F(ℂ-{-1,-ω,-ω²})となる。

したがって、ℂ-{-1,-ω,-ω²}において問題のパラメター表示は曲線全体を覆う。

ℝにおいては、Iの簡約Gröbner基底にtx-y, ty²+x²-3yが含まれるから、

(x,y)∈ℝ²でx=y=0でないならt∈ℝである。

x=y=0ならIの簡約Gröbner基底t²y-3t+xからt=0∈ℝとなり、

したがって全ての(x,y)∈V(I₁)⊂ℝ²について、t∈ℝだから、

ℝ-{-1}において問題のパラメター表示は曲線全体を覆う。

演習問題15

第1章§3演習問題16aにより、w>0なら問題のパラメター表示の分母は、

ℝにおいて消えないから、

演習問題13により、単に分母を払った多項式のイデアルの、

簡約Gröbner基底を求めればよい。Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

g: expand((1-t)^2+2*t*(1-t)*w+t^2);

f1: expand((1-t)^2*x1+2*t*(1-t)*w*x2+t^2*x3)-expand(g*x);

f2: expand((1-t)^2*y1+2*t*(1-t)*w*y2+t^2*y3)-expand(g*y);

poly_reduced_grobner([f1,f2],[t,x,y]);

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とやってみたらpoly_reduced_grobnerでエラーだなあ・・・。

Maximaだと文字定数入りはダメなのかな。