コックス「ガロワ理論」 14.3節の演習問題4

演習問題21

F_p^nm=(F_p^m)ⁿである。F_p^mはF_p上のm次元ベクトル空間だから、

定義4.3.1によりF_pのm次拡大体なので、

命題11.1.1と定理11.1.4によりFpm =Fpmとなり、よってFpnm=Fpmn。

さらにFpmn≃{γIn,v|v∈(Fpm)n }だから、(14.13)と演習問題3(a)により

Fpmn⊂AGL(n,Fpm)⊂AΓL(n,Fpm)。

演習問題3(c)により、AΓL(n,F_p^m)の元はF_p上のアフィン線型写像

Fpmn→Fpmnを定め、FpmnのFp上のベクトル空間としての次元はnmだから、

AΓL(n,F_p^m)⊂AGL(nm,F_p)。さらに命題14.3.5によりAGL(nm,F_p) ⊂S_pnm。

以上によりFpnm=Fpmn AGL(n,Fpm)⊂AΓL(n,Fpm)⊂AGL(nm,Fp)⊂Spnm。

演習問題22

φ: AGL(n,F_q)→GL(n+1,F_q) (γ_A,v↦((A,v),(0,1)))とすると、

φ(γ_A,vγ_B,w)=φ(γ_AB,Aw+v)=((AB,Aw+v),(0,1))

=((A,v),(0,1)) ((B,w),(0,1))=φ(γ_A,v)φ(γ_B,w)だからφは群準同型で、

明らかにIm(φ)={((A,v),(0,1))| A∈GL(n,F_q), v∈F_qⁿ}。

GL(n+1,F_q)の単位元は((I_n,0),(0,1))だから、Ker(φ)={γ_In,0}となり、

したがってKer(φ)はAGL(n,F_q)の単位元のみからなるからφは1対1。

よってAGL(n,F_q)≃{((A,v),(0,1))| A∈GL(n,F_q), v∈F_qⁿ}。

演習問題23

p>3に対しAGL(2,F_p)が可解と仮定すると、定理8.1.4により、

GL(2,F_p)≃AGL(2,F_p)/F_p²は可解。

故に命題8.1.3によりSL(2,F_p)⊴GL(2,F_p)は可解で、

演習問題14(c)と定理8.1.4よりPSL(2,F_p)≃SL(2,F_p)/{±I₂}も可解となる。

ところが定理14.3.20によりp>3に対しPSL(2,F_p)は単純で、

演習問題14(c)により|PSL(2,F_p)|=p(p²-1)/2は p>3に対し素数でないから、

PSL(2,F_p)は可解でないので矛盾。

よってp>3に対しAGL(2,F_p)は可解でない。

演習問題24

（問題文の「その節の演習問題1」は「その節の演習問題11」の誤植）

HTMLの制限により\hat{F}をFと表す。

7.5節演習問題11により、PGL(2,F)_∞≃AGL(1,F)である。

命題7.5.8により任意のα,β∈Fに対しPGL(2,F)の元[γ]が存在して、

[γ]·α=βだからPGL(2,F)は可移。

AGL(1,F)のFへの作用は、PGL(2,F)のFへの作用から、

α∈F, γ_a,b∈AGL(1,F) (a,b∈F)としてγ_a,b·α=aα+bで定義され、

演習問題4によりAGL(1,F)はF= F∖{∞}上2重可移だから、

演習問題19(b)によりPGL(2,F)は3重可移。

・・・というアウトラインだが、Fが無限体だとどうすんだ・・・。

てか可移性自体が、少なくともこの本では、

有限集合への作用に対してしか定義されてないのだが・・・。

演習問題25

(14.15)によりAΓL(1,F₄)はS₄の部分群と同型。

命題11.1.1によりF₄はF₂の2次拡大体。

F₂上の2次の既約多項式は定理11.2.4により1つで、f=x²+x+1のみである。

f’=1だからgcd(f,f’)=1なので命題5.3.2によりfは分離的となり、

fの一つの根をαとしてα+1がもう一つの根。

したがってF₄={0,1,α,α+1}である。

α₁=0, α₂=1, α₃=α, α₄=α+1とし、

γ_a,b∈AGL(1,F₄) (a∈GL(1,F₄)=F₄^*, b∈F₄) の作用をγ_a,b·α_i=aα_i+b∈F₄で定義する。

さらにγ_a,b·α_i=α_σ(i)によってφ: AGL(1,F₄)→S₄ (γ_a,b↦σ)を定義すると、

φは明らかに群準同型。

Ker(φ)は、すべての1≤i≤4についてγ_a,b·α_i=aα_i+b=α_iとなるγ_a,bからなり、

(a-1)α_i+b=0すなわちa=1, b=0しかないから、

Ker(φ)={γ_1,0}。すなわちKer(φ)はAGL(1,F₄)の単位元のみからなるので、

φは1対1。

|AGL(1,F₄)|=|F₄^*||F₄|=12だから、Im(φ)≃AGL(1,F₄)はS₄の位数12の部分群となり、

そのような部分群はA₄のみだから、AGL(1,F₄)≃A₄。

(14.15)によりAΓL(1,F₄)はS₄の部分群と同型で、

部分群としてGal(F₄/F₂)≃C₂と同型な部分群を含み、

またA₄≃AGL(1,F₄)⊂AΓL(1,F₄)。

Gal(F₄/F₂)はF₂上恒等な、F₂上の既約多項式fのGalois群なので、

α₁=0, α₂=1を固定し、α₃=α, α₄=α+1を交換する互換を含むから、

AΓL(1,F₄)も互換を含む。A₄を含むこのようなS₄の部分群は、

S₄しかないから、AΓL(1,F₄)≃S₄。

演習問題26

命題11.1.1により|F_p²|=|F_p²|=p²。

|AGL(1,F_p²)|=|(F_p²)^*||F_p²|=p²(p²-1)。

F_p⊂F_p²は定理11.1.7によりGalois拡大だから、

定理7.1.5と定理11.1.1により|Gal(F_p²/F_p)|=[F_p²:F_p]=2なので、

|AΓL(1,F_p²)|=|AGL(1,F_p²)||Gal(F_p²/F_p)|=2p²(p²-1)。

演習問題14(a)により|GL(2,F_p)|=p(p-1)(p²-1)だから、

|AGL(2,F_p)|=|GL(2,F_p)||F_p²|=p³(p-1)(p²-1)。

pが2でも奇素数でも|AΓL(1,F_p²)|は|AGL(2,F_p)|を割る。

|S_p²|= p²!。