コックス「ガロワ理論」 15.1節の演習問題

14.4節が結構大変なので、息抜きがてらこっちを先にｗ

演習問題1

10.2節演習問題1により2ⁿ+1が素数ならnは2冪だから、

2ⁿ+1はFermat素数。

したがってm=2ⁿp₁...p_r (p₁,...,p_rは相異なるFermat素数)だから、

定理10.2.1と同じ数を得る。

演習問題2

(x²+y²)²=x²-y²にx=rcosθ, y=rsinθを代入して

r⁴=r²(cos²θ-sin²θ)=r²cos2θだからr²=cos2θ。

演習問題3

F(x)= ∫₀^xdt/√(1-t⁴) (0<x<1)とすると、dF(x)/dx=1/√(1-x⁴)>0だから、

F(x)は単調増加。

0<t<1に対し1/√(1-t²)-1/√(1-t⁴)=[√(1+t²)-1]/√(1-t⁴) >0なので、

F(x)<∫₀^xdt/√(1-t²)=sin^-1x,0<sin^-1x<π/2だから、

F(x)<π/2となり、単調増加函数F(x)に上界が存在するので

F(x)はx→1において極限値を持つ。

よって広義積分∫₀^xdt/√(1-t⁴)は収束する。

演習問題4

y²=b²(1-x²)なので両辺をxで微分してdy/dx=-b²x/yだから、

√[1+(dy/dx)²]=√{[1-(1-b²)x²]/(1-x²)}=√[(1-k²x²)/(1-x²)]。

ただしk²=1-b²>0 (0<b<1)。

これより(15.6)を得る。

演習問題5

(15.7)を普通に展開して整理すれば、

(x²+y²)²=2a²(x²-y²)+b⁴- a⁴。

a=b=√2ならば(x²+y²)²=x²-y²となりレムニスケートの方程式を得る。

演習問題6

nが奇数なら対称性から、(r,θ)=(r_i,θ_i) (1≤i≤n, r_n=0, θ_n=5π/4)がn等分点なら、

(r_i,-θ_i)は2n等分点になる。

命題15.1.1によりn等分点(r_i,θ_i)が作図可能であることは、

r_iが作図可能であることと同値だから、(r_i,-θ_i)も作図可能なので、

2n等分点は作図可能。

まあこれだとちょっと雑だが、次節で詳しくやるみたいだからまあいいか。

演習問題7

てゆーか(15.7)がそのまんま。