コックス「ガロワ理論」 14.4節の演習問題3

演習問題16

(a)

γ_T: Aut_F(V)→Aut_F(W) (ϕ↦T∘ϕ∘T^-1)は明らかに群準同型。

Tは同型なので、ψ∈Aut_F(W)ならγ_T(T^-1∘ψ∘T)=ψ, T^-1∘ψ∘T∈Aut_F(V)。

故にγ_Tは全射。

γ_T(ϕ)=T∘ϕ∘T^-1=e_AutF(W)なら、ϕ=T^-1∘T=e_AutF(V)だから、

γ_Tは1対1、よって同型だからγ_T: Aut_F(V)≃Aut_F(W)。

(b)

T, T'はいずれもVからWへの同型だから、

Φ^-1= T∘T'^-1∈Aut_F(W)によってΦ: W→Wを定義でき、Φ∈Aut_F(W)。

これよりT'=Φ∘T。

(c)

任意のϕ∈Aut_F(V)について、

γ_T'(ϕ)=T'∘ϕ∘T'^-1=Φ∘T∘ϕ∘T^-1∘Φ^-1=Φ∘γ_T(ϕ)∘Φ^-1=γ_Φ∘γ_T(ϕ)なので

γ_T'=γ_Φ∘γ_T。

演習問題17

(a)

aI₂+bγ_αは明らかにγ_αと可換だから{aI₂+bγ_α∈Aut_Fp(F_p²)|a,b∈F_p}⊂C(γ_α)。

逆にm∈C(γ_α)とする。α∈F_p²∖F_pなので、

1,αはF_p上のベクトル空間としてのF_p2の基底だから、

m(1)=a+bα=(aI₂+bγ_α)(1)となるa,b∈F_pが存在する。

mγ_α=γ_αmだから、m(α)=mγ_α(1)=γ_αm(1)=γ_α(a+bα)=aα+bα²=(aI₂+bγ_α)(α)。

F_p²の基底で線形写像が一致するから、m=aI₂+bγ_α。

したがってC(γ_α)⊂{aI₂+bγ_α∈Aut_Fp(F_p²)|a,b∈F_p}。

{γ_β|β∈F_p2^*}⊂{aI₂+bγ_α∈Aut_Fp(F_p²)|a,b∈F_p}は明らか。

m=aI₂+bγ_α∈Aut_Fp(F_p²) (a,b∈F_p)とし、β=a+bα≠0とすれば、

m(1)=a+bα=γ_β(1), m(α)=aα+bα²=(a+bα)α=γ_β(α)だから、

{aI2+bγα∈AutFp(Fp2)|a,b∈Fp}⊂{γβ|β∈Fp2*}。

逆にn∈{γβ|β∈Fp2*}ならβ=a+bα (a,b∈Fp)とおけるので、

n(1)=β=a+bα=(aI₂+bγ_α)(1), n(α)=βα=(aI₂+bγ_α)(α)となり、

{γβ|β∈Fp2*}⊂{aI2+bγα∈AutFp(Fp2)|a,b∈Fp}。

よって{aI2+bγα∈AutFp(Fp2)|a,b∈Fp}={γβ|β∈Fp2*}。

以上により(14.38)を得る。

任意のa+bα∈F_p2 (a,b∈F_p)について、

m∈Aut_Fp(F_p²)だからm(a+bα)=am(1)+bm(α)。

m(α)=βm(1)だから、m(a+bα)=am(1)+bβm(1)=(a+bβ)m(1)。

β=αならm(a+bα)=(a+bα)m(1)=γ_δ(a+bα)=γ_δ,_e(a+bα)だから、

m=γ_δ=γ_δ,_e∈ΓL(1,F_p²)。

β=σ(α) なら、σ∈Gal(F_p²/F_p)なので、

σはF_p上恒等な体F_p²の自己同型だから、

m(a+bα)=(a+bσ(α))m(1)=σ(a+bα)m(1)=(γ_δ∘σ)(a+bα)=γ_δ,_σ(a+bα)だから、

m=γ_δ∘σ=γ_δ,_σ∈ΓL(1,F_p²)。したがって(14.40)を得る。

(b)

γ_μ,σ∈ΓL(1,F_p²) (μ∈F_p², σ∈Gal(F_p²/F_p))とすると、

γ_μ,σγ_{σ^-1(μ^-1),σ^-1}=γ_1,eなのでγ_μ,σ^-1= γ_{σ^-1(μ^-1),σ^-1} 。

γβ∈C(γα) (β∈Fp2*)と任意のu∈Fp2に対し、

γ_μ,σ∘γ_β∘γ_μ,σ^-1(u)= γ_μ,σ∘γ_β(σ^-1₍μ^-1₎σ^-1(u))= γ_μ,σ(βσ^-1(μ^-1)σ^-1(u))

=μσ(β)μ-1u=σ(β)u=γσ(β)(u)で、β∈Fp2*よりσ(β) ∈Fp2*だから、

γ_μ,σ∘γ_β∘γ_μ,σ^-1=γ_σ(β)∈C(γ_α)となるのでγ_μ,σ∈N(C(γ_α))。

故にΓL(1,F_p²)⊂N(C(γ_α))。

演習問題18

(a)

Aがa∉{hgh^-1| h∈M}なる元aを持つと仮定する。

A_a={h₁ah₁^-1| h₁∈M}にh₁ah₁^-1= h₂gh₂^-1なるh,h₁∈Mが存在すれば、

a=h₁^-1h₂gh₂^-1 h₁=(h₁^-1h₂)g(h₁^-1h₂)^-1∈<hgh^-1>なので仮定に反するから、

A_a⊴MかつA_aはAの真部分群。

これはAの極小性に反するので、A={hgh^-1| h∈M}。

(b)

a∈A, z∈Z(A)とする。A⊴Mだから、任意のm∈Zについて

a=mbm^-1なるb∈Aが存在するので、

a(mzm^-1)=mbm^-1 mzm^-1= mbzm^-1=mzbm^-1= mzm^-1 mbm^-1=(mzm^-1)aだから、

mzm^-1∈Z(A)となりZ(A)⊴M。

演習問題19

(a)

g∈F_p^*を法pでの原始根とすると、

補題9.1.2（Fermatの小定理）によりg^p-1=1。

p-1≡0 (mod 8)だから、p-1=8mとなるm∈ℕが存在するので、

1=g^p-1=g^8m=(g^m)⁸。gは原始根だから(g^m)²≠1, (g^m)⁴≠1なので、

ζ=g^mとしてo(ζ)=8。

(b)

（平方剰余の第2補充法則によりp≡1 (mod 8)なら2は平方剰余だから、

α²=2となるα∈F_p^*が存在する。）

i²=ζ⁴, (ζ⁴)²=1なので0=ζ⁸-1=(ζ⁴-1)(ζ⁴+1)=0。

(a)によりζ⁴≠1だからζ⁴=i²=-1。

故に(1+i)²=2iだから、α=iζ(1+i)とおけばα²=2となる。

(c)

(14.25)の行列をa₁=((0,1),(1,0)), a₂=((i,0),(0,1)), a₃=((1,-1),(1,1))とする。

ただし(b)によりi²=-1, i=ζ²。

det(a₁)=-1でia₁∈SL(2,F_p),

det(a₂)=iなのでiζa₂∈SL(2,F_p),

det(a₃)=2なのでiζ(1+i)a₃∈SL(2,F_p)。

演習問題10(a)により<[a₁],[a₂],[a₃]>≃S₄なので、

S₄≃<[ia₁],[iζa₂],[iζ(1+i)a₃]>⊂PSL(2,F_p)。

(d)

ζ₈²=iだから、F_pにおけるζとℂにおけるζ₈が対応している。

演習問題20

(a)

gh=-hgとCayley-Hamiltonの定理から、

命題14.4.4の証明と同様にしてg²=h²=-1。

これより(gh)²=-g²h²=-1, g(gh)=-(gh)g=g²h=-h,

h(gh)=-(gh)h=-gh²=-g, -I₂∈Z(<g,h>)。

写像g↦i, h↦jの対応により、gh↦kで、

Qと<g,h>（…というか<-I₂, g,h>）は同じCayley表を持つことが確かめられるから、

Q≃<g,h>。

(b)

(14.26)のπをπ=π₂∘π₁,

π₁:AGL(2,F_p)→GL(2,F_p) (γ_A,v↦A),

π₂:GL(2,F_p)→PGL(2,F_p) (A↦[A])と分ける。

命題14.4.4と同じノーテーションのもとで、

(M₃)₀=π₂^-1(N(H)), H=<[g],[h]>⊂PGL(2,F_p)。

任意のm∈(M₃)₀をとると、[m]∈N(H)だから[m]H[m]^-1=H。

この両辺にπ₂^-1を作用させれば、

Ker(π₂)=F_p^*I₂はGL(2,F_p)の全ての元と可換であることと、

π₂^-1(H)=<g,h>F_p^*I₂から、

m<g,h>m^-1F_p^*I₂=<g,h>F_p^*I₂。

q∈<g,h>ならdet(mqm^-1)=det(q)=1だから、

実はm<g,h>m^-1=<g,h>なので、m∈N(<g,h>)。故に (M₃)₀⊂N(<g,h>)。

逆にm∈N(<g,h>)なら、任意のq₁∈<g,h>について、

あるq₂∈<g,h>が存在してmq₁m^-1=q₂。

この両辺にπ₂を作用させれば、[q₁],[q₂]∈<[g],[h]>=Hで、

[m][q₁][m]^-1=[q₂]∈Hとなるから、[m]∈N(H)

なのでm∈π₂^-1(N(H))=(M₃)₀となるからN(<g,h>)⊂(M₃)₀。

以上により(M₃)₀=N(<g,h>)。