シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第47章練習問題

47.1

(a)

c_mn=c_mc_n

(b)

c_p²=(c_p)²-p

(c)

...

(d)

(i) ...

(ii) c₂₈₉=c_17²= (c₁₇)²-17=-13

(iii)1521=3²·13²よりc₁₅₂₁=[(c₃)²-3][(c₁₃)²-13]=-6

(iv)16807=7⁵...

47.2

(a)

展開してΘ=T-4T^k+1+2T^2k+1+8T^3k+1+...

これを練習問題45.5の表と比べるとk=6の模様。

(b)

k=6とすればc₁=1, c₇=-4, c₁₃=2、その他は18までのkについてc_k=0。

(c)

...

47.3

この楕円曲線についてのa_pの表は以下の通り。

p	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41
ap	0	-1	-2	0	4	-2	2	-4	-8	6	8	6	-6

また、f(X)=1-X-X²+X⁵+X⁷+X⁹+...である。

j<k<m<nと仮定すると、Θ=T-T^j+1+...となり、

c₁=1, c₂=a₂=0, c₃=a₃=-1≠0だから、j+1=3すなわちj=2。

このときΘ=T-T³-T⁵+T^k+3-T^k+1-T^m+1+...で、

k=4ならk>2, c₅=a₅=-2を満たす。

さらにΘ=T-T³-2T⁵+T⁷-T^m+1+...だから、

m=6ならm>4, c₇=a₇=0を満たし、

Θ=T-T³-2T⁵+T⁷+T⁹+4T¹¹-T¹³-Tⁿ⁺¹+...となるから、

c₁₁=a₁₁=4も満たされ、n=12ならc₁₃=a₁₃=-2も満たされる。

j=2, k=4, m=6, n=12のもとで、c₁₇=2=a₁₇。