コックス「ガロワ理論」 8.5節の演習問題

演習問題1

L₁はfの分解体なので、定理5.2.4によりF⊂L₁は正規かつ有限次拡大。

さらに補題4.4.2により代数拡大で、

Fは8.5節の仮定により標数0なので、命題5.3.7によりF⊂L₁は分離拡大。

したがってF⊂L₁は定理7.1.1によりGalois拡大である。

同様にF⊂L₂もGalois拡大。

F⊂L₁が可解とすると、ζ₁をL₁での1の原始m乗根(m=[L₁:F])として、

F⊂M₁=L₁(ζ₁)は補題8.3.1によりGalois拡大となり、

定理7.1.1によりM₁は分離多項式g=x^m-1∈F[x]の分解体である。

gをL₁[x]の元とみなしたものをg₁と書くことにし、また、

gはL₂[x]の元でもあるので、L₂[x]の元とみなしたものをg₂と書くことにする。

g₂のL₂上の分解体をM₂とすると、定理7.1.1によりF⊂M₂はGalois拡大。

L₁,L₂はfの分解体だから系5.1.7により、

L₁≃L₂となるF上恒等な同型φが存在するので、

[L₂:F]=mだから、M₂での1の原始m乗根をζ₂とすれば、M₂=L₂(ζ₂)。

φはF上恒等だからφ(g₁)=g₂。

したがって定理5.1.6の条件をφ, g₁, L₁, L₂, M₁, M₂は満たすから、

同型φ: M₁≃M₂が存在してφ=φ|_L1。

F⊂L₁は可解Galois拡大だから系8.3.4により F⊂M₁=L₁(ζ₁)は冪根的。

すなわち定義8.2.1により体の列F=F₀⊂F₁⊂...⊂F_n=M₁と、

m_i>0 (i=1,...,n)が存在して、F_i=F_i-1(γ_i), γ_i^m_i∈F_i-1。

同型φによって、体の列F=φ(F₀)=F₀⊂φ(F₁)⊂...⊂φ(F_n)=M₂が得られ、、

φ(F_i)=φ(F_i-1)(φ(γ_i)), φ(γ_i)^m_i∈φ(F_i-1)となるから、F⊂M₂=L₂(ζ₂)も冪根的となる。

したがってF⊂L₁は可解。F⊂L₂が可解の場合も同様。

演習問題2

fは既約だから命題4.1.5によりαの最小多項式なので、

命題4.3.4により[F(α):F]=deg(f)。したがってF⊂F(α)は有限次拡大だから、

命題7.1.7によりGalois閉包F(α)⊂Mが存在して拡大F⊂MはGalois拡大、

したがって正規拡大。fは既約かつα∈Mだから、

命題5.2.1によりfはM上完全分解するので、

fの分解体をLとすればL⊂M。

fは分離的だから、定理7.1.1によりF⊂LはGalois拡大なので、

命題7.1.7によりM⊂Lとなり、故にM=Lである。

したがって、MはfのF上の分解体。

演習問題3

Fの標数は0だから命題5.3.8により、g=f/gcd(f,f')は分離的。

fは分離的でないので命題5.3.2によりgcd(f,f')>0だからdeg(g)<4。

故に命題8.5.4によりgは冪根で解ける。

gとfは同じ根を持つから、以上によりfの根が得られた。

演習問題4

fはℚ上の最小多項式なのでℚ上既約だから、命題8.5.2により直ちに従う。

演習問題5

...

演習問題6

HをGの2-Sylow部分群とし、定理8.5.8の証明と同様にして、

固定体ℝ⊂L_Hを考える。[L_H:ℝ]=|G|/|H|<∞は有限次拡大だから、

定理4.4.3によりℝ上代数的なα₁,... α_mが存在して、L_H=ℝ(α₁,... α_m)。

定理4.3.8（塔定理）により、各α_iのℝ上の最小多項式をf_i∈ℝ[x]として、

[L_H:ℝ]=∏_i deg(f_i)である。[L_H:ℝ]=|G|/|H|は奇数なので、

全ての1≤i≤ mについて deg(f_i)は奇数となるが、

すると各f_iは命題3.2.2によりℝに根を持つのだから、

f_iがℝ上既約であるためには、全ての1≤i≤ mについて deg(f_i)=1でなければならない。

したがって[L_H:ℝ]=1だからG=Hとなるので、

Galois対応によりℝの奇数次拡大は次数1の自明な拡大しかありえない。