コックス「ガロワ理論」 9.2節の演習問題2

演習問題7

(a)

<[2]>は(ℤ/19ℤ)^*の部分群なので定理A.1.1（Lagrangeの定理）により、

|<[2]>|=o([2])は|(ℤ/19ℤ)^*|=φ(19)=18を割る。

2が19の原始根でない、すなわち[2]が(ℤ/19ℤ)^*の生成元でないなら、

1でも18でもない18の正の約数m∈{2,3,6,9}が存在して[2^m]=[1]だが、

[2²]=[4]≠[1], [2³]=[8]≠[1], [2⁶]=[7]≠[1], [2⁹]=[18]≠[1]なので、

このようなmは存在しない。よって2は19の原始根。

(b)

2H₆={2,3,5,14,16,17}と命題9.2.9により、

(6,2)²=(6,2+2)+(6,3+2)+(6,5+2)+(6,14+2)+(6,16+2)+(6,17+2)

=(6,4)+(6,5)+(6,7)+(6,16)+(6,18)+6。

ここで7,18∈H₆={1,7,8,11,12,18}、5,16∈2H₆より、

(6,7)=(6,18)=(6,1), (6,5)=(6,16)=(6,2)だから

(6,2)²=2(6,1)+2(6,2)+(6,4)+6。

演習問題6により(6,1)+(6,2)=-1-(6,4)だから、

(6,2)²=4-(6,4)

また4H₆={4,6,9,10,13,15}と命題9.2.9により、

(6,4)²=(6,4+4)+(6,6+4)+(6,9+4)+(6,10+4)+(6,13+4)+(6,15+4)

=(6,8)+(6,10)+(6,13)+(6,14)+(6,17)+6。

ここで8∈H₆、14,17∈2H₆および10,13∈2H₆より

(6,8)=(6,1), (6,14)=(6,17)=(6,2), (6,10)=(6,13)=(6,4)だから

(6,2)²=(6,1)+2(6,2)+2(6,4)+6。

演習問題6により(6,2)+(6,4)=-1-(6,1)だから、

(6,2)²=4-(6,1)

(c)

σ((6,1))=(6,2)とすると、σ((6,2))=(6,4)より、

(6,2)²=σ((6,1)²)=σ(4-(6,2))=4-(6,4)。

またτ((6,1))=(6,4)とすると、τ((6,2))=(6,8)=(6,1)より、

(6,4)²=τ((6,1)²)= τ(4-(6,2))=4-(6,1)となり、

(b)と同じ結果を得る。

(d)

命題9.2.9により

(6,1)(6,2)=(6,1+2)+(6,7+2)+(6,8+2)+(6,11+2)+(6,12+2)+(6,18+2)

=(6,3)+(6,9)+(6,10)+(6,13)+(6,14)+(6,1)

=(6,1)+2(6,2)+3(6,4)

τ((6,1))=(6,4)とする(τ∈Gal(ℚ(ζ₁₉)/ℚ))と、補題9.2.4により

τ((6,2))=(6,8)=(6,1), τ((6,4))=(6,16)=(6,2)なので、

(6,1)(6,4)=τ((6,1)(6,2))=2(6,1)+3(6,2)+(1,4)

またσ((6,1))=(6,2)とする(σ∈Gal(ℚ(ζ₁₉)/ℚ))と、補題9.2.4により

σ((6,2))=(6,4), σ((6,4))=(6,8)=(6,1)により,

(6,2)(6,4)=σ((6,1)(6,2))=(6,1)+(6,2)+3(6,4)

(9.15)の次の式の計算の最後の所で演習問題6を用いて、

5(6,1)+5(6,2)+5(6,4)=-5だから、(6,1)(6,2)(6,4)=7。

(e)

2H₆={2,3,14}⋃{5,16,17}=2H₃⋃16 H₃および、

4H₆={4,6,9}⋃{10,13,15}=4H₃⋃13 H₃である。

これより(d)のσ,τ∈Gal(ℚ(ζ₁₉)/ℚ)について、

σ((3,1))=(3,2), σ((3,8))=(3,16),

σ((3,2))=(3,4), σ((3,16))=(3,13),

σ((3,4))=(3,8), σ((3,13))=(3,1),

τ((3,1))=(3,4), τ((3,8))=(3,13),

τ((3,2))=(3,8), τ((3,16))=(3,1),

τ((3,4))=(3,16), τ((3,13))=(3,2)なので、

(3,2)(3,16)=σ((3,1)(3,8))=σ((6,4)+3)=(6,1)+3,

(3,4)(3,13)=τ((3,1)(3,8))=τ((6,4)+3)=(6,2)+3となる。

これと(3,2)+(3,16)=(6,2), (3,4)+(3,13)=(6,4)から、

(x-(3,2))(x-(3,16))=x²-(6,2)x+(6,1)+3,

(x-(3,4))(x-(3,13))=x²-(6,4)x+(6,2)+3。

(f)

ζ₁₉+ζ₁₉⁷+ζ₁₉¹¹=(3,1),

ζ₁₉ζ₁₉⁷+ζ₁₉ζ₁₉¹¹+ζ₁₉⁷ζ₁₉¹¹=ζ₁₉⁸+ζ₁₉¹²+ζ₁₉¹⁸=(3,8),

ζ₁₉ζ₁₉⁷ζ₁₉¹¹=ζ₁₉¹⁹=1より(9.18)式が従う。

ただし8H₃={8,12,18}より(3,8)= ζ₁₉⁸+ζ₁₉¹²+ζ₁₉¹⁸を用いた。

演習問題8

(a)

<[3]>は(ℤ/17ℤ)^*の部分群なので定理A.1.1（Lagrangeの定理）により、

|<[3]>|=o([3])は|(ℤ/17ℤ)^*|=φ(17)=16を割る。

3が17の原始根でない、すなわち[3]が(ℤ/17ℤ)^*の生成元でないなら、

1でも16でもない16の正の約数m∈{2,4,8}が存在して[3^m]=[1]だが、

[3²]=[9]≠[1], [3⁴]=[13]≠[1], [3⁸]=[16]≠[1]なので、

このようなmは存在しない。よって3は17の原始根。

(b)

H₈=<[3²]>={1,9,81,729,6561,59049, 531441, 4782969}

={1,9,13,15,16,8,4,2}={1,2,4,8,9,13,15,16},

H₄=<[3⁴]>={1,13,16,4}={1,4,13,16},

H₂=<[3⁸]>={1,16}。

(c)

Galois対応により[L₈:ℚ]=|Gal(L₈/ℚ)|=[Gal(ℚ(ζ₁₇)/ℚ):H₈]=2だから、

ℚ⊂L₈は二次拡大なので8周期のℚ上の最小多項式は2次。

Gal(ℚ(ζ₁₇)/ℚ)≃(ℤ/17ℤ)^*=H₈⋃3H₈, 3H₈={3,5,6,7,10,11,12,14}より、

相異なる8周期は(8,1)と(8,3)。

演習問題6により(8,1)+(8,3)=-1。

また補題9.2.9により(8,1)(8,3)

=(8,1+3)+(8,2+3)+(8,4+3)+(8,8+3)+(8,9+3)+(8,13+3)+(8,15+3)+(8,16+3)

=(8,4)+(8,5)+(8,7)+(8,11)+(8,12)+(8,16)+(8,1)+(8,2)

=4(8,1)+4(8,3)=-4

よって命題9.2.6により(8,1),(8,3)の最小多項式は

(x-(8,1))(x-(8,3))=x²+x-4。

Galois対応により[L₄:L₈]=|Gal(L₄/L₈)|=[H₈:H₄]=2だから、

L₈⊂L₄は二次拡大なので4周期のL₈上の最小多項式は2次。

(b)よりH₈=H₄⋃2H₄, 2H₄={2,8,9,15}また

3H₈=3H₄⋃6H₄, 3H₄={3,5,12,14}, 6H₄={6,7,10,11}なので、

相異なる4周期は(4,1),(4,2),(4,3),(4,6)で、

(8,1)=(4,1)+(4,2), (8,3)=(4,3)+(4,6)である。

演習問題6により(4,1)+(4,2)+(4,3)+(4,6)=-1。

また補題9.2.9により(4,1)(4,2)

=(4,1+2)+(4,4+2)+(4,13+2)+(4,16+2)

=(4,3)+(4,6)+(4,15)+(4,1)

=(4,1)+(4,2)+(4,3)+(4,6)=-1。

σ_i∈Gal(ℚ(ζ₁₇)/ℚ), σ_i((4,λ))=(4,iλ)はℚ上不変だから、

σ₃((4,1)(4,2))=(4,3)(4,6)=-1。

以上により、4周期の最小多項式は

(x-(4,1))(x-(4,2))=x²-(8,1)x-1,

(x-(4,3))(x-(4,6))=x²-(8,3)x-1。

同様に、L₄⊂L₂は二次拡大なので2周期のL₄上の最小多項式は2次。

(b)よりH₄=H₂⋃4H₂, 4H₂={4,13}また

2H₄=2H₂⋃8H₂, 2H₂={1,15}, 12H₂={8,9},

3H₄=3H₂⋃12H₂, 3H₂={3,14}, 12H₂={5,12},

6H₄=6H₂⋃7H₂, 6H₂={6,11}, 7H₂={7,10}なので、

相異なる2周期は(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,6),(2,7),(2,8),(2,12)で、

(4,1)=(2,1)+(2,4), (4,2)=(2,2)+(2,8),

(4,3)=(2,3)+(2,12), (4,6)=(2,6)+(2,7)である。

補題9.2.9により(2,1)(2,4)

=(2,1+4)+(2,16+4)=(2,5)+(2,3)=(2,12)+(2,3)=(4,3)

これより(2,1),(2,4)の最小多項式は

(x-(2,1))(x-(2,4))=x²-(4,1)x+(4,3)。

なおσ₂, σ₃, σ₆∈Gal(ℚ(ζ₁₇)/ℚ)を作用させることで、

残りの最小多項式は

(2,2)と(2,8): x²-(4,2)x+(4,6)

(2,3)と(2,12): x²-(4,3)x+(4,2)

(2,6)と(2,7): x²-(4,6)x+(4,1)

演習問題9

(a)

演習問題8(a)によりH₈={1,2,4,8,9,13,15,16}だから、

定義9.2.3により

(8,1)=ζ₁₇+ζ₁₇²+ζ₁₇⁴+ζ₁₇⁸+ζ₁₇⁹+ζ₁₇¹³+ζ₁₇¹⁵+ζ₁₇¹⁶

=ζ₁₇+ζ₁₇²+ζ₁₇⁴+ζ₁₇⁸+ζ₁₇+ζ₁₇²+ζ₁₇⁴+ζ₁₇⁸

=2cos(2π/17)+2cos(4π/17)+2cos(8π/17)+2cos(16π/17)。

Maximaコマンド

bfloat(2*cos(2*%pi/17)+2*cos(4*%pi/17)

+2*cos(8*%pi/17)+2*cos(16*%pi/17));

を用いて

(8,1)=1.56155281280883≈1.56155

同様にH₄={1,4,13,16}から

(4,1)=2cos(2π/17)+2cos(8π/17)≈2.04948、

3H₄={3,5,12,14}から

(4,3)=2cos(6π/17)+2cos(10π/17)≈0.34415、

H₂={1,16}から

(2,1)=2cos(2π/17)≈1.86494。

(b)

演習問題8(c)の(8,1),(8,3)の最小多項式の根は(-1±√17)/2。

(-1+√17)/2≈1.56155, (-1-√17)/2≈-2.56155なので、

(a)により(8,1)=(-1+√17)/2, (8,3)=(-1-√17)/2。

これより、演習問題8(c)の(4,1),(4,2)の最小多項式は

x²-(8,1)x-1=x²-(-1+√17)x/2-1で、根は

x=[-1+√17+√(34-2√17)]/4≈2.04948および

x=[-1+√17-√(34-2√17)]/4≈-0.48793なので、(a)により

(4,1)=[-1+√17+√(34-2√17)]/4, (4,2)=[-1+√17-√(34-2√17)]/4

同様に(4,3),(4,6)の最小多項式x²-(8,3)x-1=x²-(-1-√17)x/2-1の根

x=[-1-√17+√(34+2√17)]/4≈0.34415および

x=[-1-√17-√(34+2√17)]/4≈-2.9057から、(a)により

(4,3)=[-1-√17+√(34+2√17)]/4, (4,6)=[-1-√17-√(34+2√17)]/4。

Maximaメモ：

Maximaでは出力

(%i1) solve(x^2+x-4);

(%o1) [x=-(sqrt(17)+1)/2,x=(sqrt(17)-1)/2]

に対し

p81: ev(x,%1[2]);

p83: ev(x,%1[1]);

(%i4) solve(x^2-p81*x-1);

(%o4) [x=-(-sqrt(17)+sqrt(2)*sqrt(17-sqrt(17))+1)/4,

x=(sqrt(17)+sqrt(2)*sqrt(17-sqrt(17))-1)/4]

に対し

p41: ev(x,%4[2]);

(%i6) solve(x^2-p83*x-1);

(%o6) [x=-(sqrt(2)*sqrt(sqrt(17)+17)+sqrt(17)+1)/4,

x=(sqrt(2)*sqrt(sqrt(17)+17)-sqrt(17)-1)/4]

に対し

p43: ev(x,%o6[2]);

(c)

問題文のx²-(4,1)x-(4,3)はx²-(4,1)x+(4,3)の誤植。

演習問題8(c)の(2,1),(2,4)の最小多項式は

x²-(4,1)x+(4,3)、これよりx=[(4,1)±√((4,1)²-4(4,3))]/2。

演習問題8(b)によりH₄={1,4,13,16}だから命題9.2.9により

(4,1)²-4(4,3)=(4,1+1)+(4,4+1)+(4,13+1)+(4,16+1)-4(4,3)

=(4,2)+(4,5)+(4,14)+4-4(4,3)

=(4,2)+2(4,3)+4-4(4,3)=(4,2)-2(4,3)+4

=[17+3√17-√(34-2√17)-2√(34+2√17)]/4

これと(4,1)=[-1+√17+√(34-2√17)]/4から、最小多項式の根は

x=[-1+√17+√(34-2√17)]/8±√[17+3√17-√(34-2√17)-2√(34+2√17)]/4。

この根の値をMaximaで計算すると、複号が+の方は

bfloat((p41+sqrt(p42-2*p43+4))/2); ≈1.86494、

複号が-の方は

bfloat((p41-sqrt(p42-2*p43+4))/2); ≈0.18454だから、

(a)により(2,1)は復号が+の方なので、

(2,1)=[-1+√17+√(34-2√17)]/8+√[17+3√17-√(34-2√17)-2√(34+2√17)]/4。

よってcos(2π/17)=(2,1)/2

=[-1+√17+√(34-2√17)]/16+√[17+3√17-√(34-2√17)-2√(34+2√17)]/8

となり(9.19)式を得る。

演習問題10

<[2]>は(ℤ/11ℤ)^*の部分群なので定理A.1.1（Lagrangeの定理）により、

|<[2]>|=o([2])は|(ℤ/11ℤ)^*|=φ(11)=10を割る。

2が11の原始根でない、すなわち[2]が(ℤ/11ℤ)^*の生成元でないなら、

1でも10でもない10の正の約数m∈{2,5}が存在して[2^m]=[1]だが、

[2²]=[4]≠[1], [2⁵]=[10]≠[1]なので、

このようなmは存在しない。よって2は11の原始根。

H₂=<[2⁵]>={1,32}={1,10}で、

Galois対応により[L₂:ℚ]=|Gal(L₂/ℚ)|=[Gal(ℚ(ζ₁₁)/ℚ):H₂]=5だから、

ℚ⊂L₂は5次拡大なので2周期のℚ上の最小多項式は5次。

この最小多項式をf=y⁵+a₄y⁴+a₃y³+a₂y²+a₁y+a₀とする。

Gal(ℚ(ζ₁₁)/ℚ)≃(ℤ/11ℤ)^*=H₂⋃2H₂⋃3H₂⋃4H₂⋃5H₂,

2H₂={2,9}, 3H₂={3,8},4H₂={4,7},5H₂={5,6}より、

相異なる2周期は(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)なので、

f=(y-(2,1))(y-(2,2))(y-(2,3))(y-(2,4))(y-(2,5))。

演習問題6により(2,1)+(2,2)+(2,3)+(2,4)+(2,5)=-1だから、

命題2.1.4によりa₄=1。

補題9.2.9により

(2,1)(2,2)=(2,1+2)+(2,10+2)=(2,3)+(2,1),

(2,1)(2,3)=(2,1+3)+(2,10+3)=(2,4)+(2,2)。

命題9.2.4を用いて、σ_i∈Gal(ℚ(ζ₁₁)/ℚ), σ_i((2,λ))=(2,iλ)とすると、

(2,2)(2,4)=σ₂((2,1)(2,2))=σ₂((2,3)+(2,1))=(2,5)+(2,2),

(2,3)(2,5)=(2,3)(2,6)=σ₃((2,1)(2,2))=σ₃((2,3)+(2,1))=(2,2)+(2,3),

(2,3)(2,4)=(2,4)(2,8)=σ₄((2,1)(2,2))=σ₄((2,3)+(2,1))=(2,1)+(2,4),

(2,1)(2,5)=(2,5)(2,10)=σ₅((2,1)(2,2))=σ₅((2,3)+(2,1))=(2,4)+(2,5)

(2,2)(2,5)=(2,2)(2,6)=σ₂((2,1)(2,3))=σ₂((2,4)+(2,2))=(2,3)+(2,4)

(2,2)(2,3)=(2,3)(2,9)=σ₃((2,1)(2,3))=σ₃((2,4)+(2,2))=(2,1)+(2,5)

(2,1)(2,4)=(2,4)(2,12)=σ₄((2,1)(2,3))=σ₄((2,4)+(2,2))=(2,5)+(2,3)

(2,4)(2,5)=(2,5)(2,15)=σ₅((2,1)(2,3))=σ₅((2,4)+(2,2))=(2,2)+(2,1)

で、a₃はこれらの和なので、

a₃=4((2,1)+(2,2)+(2,3)+(2,4)+(2,5))=-4。

また、(2,1)²=(2,1+1)+(2,10+1)=(2,2)+2,

(2,2)²=σ₂((2,1)²)=σ₂((2,2)+2)=(2,4)+2,

(2,3)²=σ₃((2,1)²)=σ₃((2,2)+2)=(2,5)+2,

(2,4)²=σ₄((2,1)²)=σ₄((2,2)+2)=(2,3)+2,

(2,5)²=σ₅((2,1)²)=σ₂((2,2)+2)=(2,1)+2。

上の計算により、

(2,1)(2,2)(2,3)=(2,3)²+(2,1)(2,3)=(2,2)+(2,4)+(2,5)+2,

(2,1)(2,2)(2,5)=(2,3)(2,5)+(2,1)(2,5)=(2,2)+(2,3)+(2,4)+(2,5)=-1-(2,1),

より

(2,2)(2,4)(2,5)=(2,2)(2,4)(2,6)=σ₂((2,1)(2,2)(2,3))=(2,1)+(2,3)+(2,4)+2,

(2,2)(2,3)(2,5)=(2,3)(2,6)(2,9)=σ₃((2,1)(2,2)(2,3))=(2,1)+(2,4)+(2,5)+2,

(2,1)(2,3)(2,4)=(2,4)(2,8)(2,12)=σ₄((2,1)(2,2)(2,3))=(2,2)+(2,3)+(2,5)+2,

(2,1)(2,4)(2,5)=(2,5)(2,10)(2,15)=σ₅((2,1)(2,2)(2,3))=(2,1)+(2,2)+(2,3)+2,

(2,1)(2,2)(2,4)=(2,2)(2,4)(2,10)=σ₂((2,1)(2,2)(2,5))=-1-(2,2),

(2,3)(2,4)(2,5)=(2,3)(2,6)(2,15)=σ₃((2,1)(2,2)(2,5))=-1-(2,3),

(2,2)(2,3)(2,4)=(2,4)(2,8)(2,20)=σ₄((2,1)(2,2)(2,5))=-1-(2,4),

(2,1)(2,3)(2,5)=(2,5)(2,10)(2,25)=σ₅((2,1)(2,2)(2,5))=-1-(2,5)

で、-a₂はこれらの和なので

a₂=-[10+3((2,1)+(2,2)+(2,3)+(2,4)+(2,5))-5-((2,1)+(2,2)+(2,3)+(2,4)+(2,5))]

=-3

さらに

(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)=(2,1)(2,2)(2,4)(2,3)

=-(2,3)-(2,2)(2,3)= -(2,3)-(2,1)-(2,5)=1+(2,2)+(2,4)

(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)=σ₂((2,1)(2,2)(2,3)(2,4))=1+(2,4)+(2,3)

(2,1)(2,2)(2,3)(2,5)=σ₃((2,1)(2,2)(2,3)(2,4))=1+(2,5)+(2,1)

(2,1)(2,3)(2,4)(2,5)=σ₄((2,1)(2,2)(2,3)(2,4))=1+(2,3)+(2,5)

(2,1)(2,2)(2,4)(2,5)=σ₅((2,1)(2,2)(2,3)(2,4))=1+(2,1)+(2,2)

a₁はこれらの和なのでa₁=5+2((2,1)+(2,2)+(2,3)+(2,4)+(2,5))=3。

-a₀=(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)=(2,5)+(2,2)(2,5)+(2,4)(2,5)

=(2,5)+(2,3)+(2,4)+(2,2)+(2,1)=-1より

a₀=1。

以上によりf=y⁵+y⁴-4y³-3y²+3y+1。