コックス「ガロワ理論」 9.2節の演習問題1

演習問題1

(a)

Gの単位元をe_Gとして(g^e)^f=gⁿ=e_Gだから、|<g^e>|=o(g^e)≤f。

いまo(g^e)<fなら、あるr<fが存在してo(g^e)=rだから、

g^er=e_Gなのでo(g)=er<nとなるが、

gは位数nの巡回群Gの生成元だから、o(g)=|G|=nなので矛盾。

したがって|<g^e>|=f。

よって定理A.1.4(b)により、<g^e>はGの、位数fのただ一つの部分群である。

(b)

Gの生成元をgとし、e=|G|/f, e'=|G|/f'とする。(a)により、

H_f=<g^e>, H_f'=<g^e'>はそれぞれ、Gの位数f,f'のただ一つの部分群である。

f|f'なら、f'=rfとしてe=re'だから、g^e=(g^e')^r∈H_f'なのでH_f⊂H_f'。

逆にH_f⊂H_f'なら、H_f'は巡回群なのであるrが存在して

g^e=(g^e')^r=g^re'だからe=re'。これよりf'=rfだからf|f'。

演習問題2

(a)の証明：

ℚ⊂ℚ(ζ_p)はGalois拡大だから、定理7.3.2によりH_f=Gal(ℚ(ζ_p)/L_f)で、

H_fはGal(ℚ(ζ_p)/ℚ)の部分群である。

定理9.1.11によりGal(ℚ(ζ_p)/ℚ)≃(ℤ/pℤ)^*だから、Gal(ℚ(ζ_p)/ℚ)はAbel群。

したがってGal(ℚ(ζ_p)/L_f)⊴Gal(ℚ(ζ_p)/ℚ)となり、

定理7.2.5によりℚ⊂L_fはGalois拡大である。

定理7.1.5により[ℚ(ζ_p):ℚ]=|Gal(ℚ(ζ_p)/ℚ)|=p-1、

また定理7.3.1により[ℚ(ζ_p):L_f]=|H_f|=fだから、

定理4.3.8（塔定理）により[L_f:ℚ]=[ℚ(ζ_p):ℚ]/[ℚ(ζ_p):L_f]=(p-1)/f=e。

(b)の証明：

f,f'がp-1の正の約数なので、演習問題1(b)により、H_f⊂H_f'とf|f'は同値。

ℚ⊂ℚ(ζ_p)はGalois拡大だから、命題7.1.3によりL_f'⊂ℚ(ζ_p)はGalois拡大、

故に有限次拡大。

したがってH_f⊂H_f'=Gal(ℚ(ζ_p)/L_f')なら7.1節演習問題1により、L_f'⊂L_f。

逆にL_f'⊂L_f⊂ℚ(ζ_p) なら補題7.2.4によりH_f=Gal(ℚ(ζ_p)/L_f)⊂Gal(ℚ(ζ_p)/L_f')=H_f'。

以上によりH_f⊂H_f'とL_f'⊂L_fは同値だから、L_f'⊂L_fとf|f'は同値。

(c)の証明：

f|f'だから演習問題1(b)によりH_f⊂H_f'だが、

H_f'はAbel群Gal(ℚ(ζ_p)/ℚ)の部分群なのでAbel群だから、H_f⊴H_f'である。

L_f'⊂L_f⊂ℚ(ζ_p)で、L_f'⊂ℚ(ζ_p)はGalois拡大だから、

定理7.3.2によりGal(ℚ(ζ_p)/L_f')/Gal(ℚ(ζ_p)/L_f)=H_f'/H_f≃Gal(L_f/L_f')。

故に|Gal(L_f/L_f')|=|H_f'|/|H_f|=f’/f。

H_f', H_fは有限Abel群なので、Gal(L_f/L_f')≃H_f'/H_fも有限Abel群だから、

定理A.1.7により素数冪位数の巡回群の直積と同型となり、

したがって定理A.5.2（中国式剰余定理）により巡回群である。

演習問題3

(a)

x+x^-1=ηとすると、x²+x^-2=η²-2, x³+x^-3=η³-3ηだから

x³+x²+x+1+x^-1+x^-2+x^-3=η³+η²-2η-1。

故にζがΦ₇の根ならば、ζ+ζ^-1はx³+x²-2x-1の根である。

ζ₇⁶=ζ₇^-1, ζ₇⁵=ζ₇^-2, ζ₇⁴=ζ₇^-3だから、η₁=ζ₇+ζ₇^-1, η₂=ζ₇²+ζ₇^-2, η₃=ζ₇³+ζ₇^-3,

がx³+x²-2x-1の全ての根である。

(b)

命題A.3.1によりx³+x²-2x-1がℚに根を持てば根はx=±1だが、

x=±1はx³+x²-2x-1の根でないので、x³+x²-2x-1はℚに根を持たない。

よって補題A.1.19によりx³+x²-2x-1はℚ上規約だから、

命題4.1.5によりx³+x²-2x-1はη₁の最小多項式なので、

命題4.3.4により[ℚ(η₁):ℚ]=3。

[ℚ(ζ₇):ℚ]=6だから定理4.3.8（塔定理）により[ℚ(ζ₇):ℚ(η₁)]=2。

η₁=ζ₇+ζ₇⁶だからℚ(η₁)⊂ℚ(ζ₇)で、ℚ⊂ℚ(ζ₇)ではGalois拡大だから

定理7.3.1によりℚ(η₁) はGal(ℚ(ζ₇)/ℚ(η₁))の固定体で、

|Gal(ℚ(ζ₇)/ℚ(η₁))|=[ℚ(ζ₇):ℚ(η₁)]=2だから、

Gal(ℚ(ζ₇)/ℚ(η₁))は位数2の巡回群{e,τ}(o(τ)=2)である。

ζ₇→ζ₇⁶=ζ₇の置換に対しη₁は不変だから、τは複素共役をとる置換である。

(c)

x³+x²-2x-1の簡約3次方程式y³-(7/3)y -7/27 (x=y-1/3)に、

Cardanoの公式を適用して(9.10)式を得る。

演習問題4

GのBによる左剰余類分解をG=∐_λ∈I g_λB (g_λ∈G, |I|=[G:B])、

またBのAによる左剰余類分解をB=∐_1≤j≤d b_jA (b_j∈B, |I|=[B:A]=d)とする。

写像ψ_λ:B→g_λB (b∈B→g_λb∈g_λB)を考えると、

g∈g_λBならβ=g_λ^-1g∈Bだから、ψ_λは全射。

g₁=g₂ (g₁,g₂∈g_λB)ならβ₁=g_λ^-1g₁= g_λ^-1g₂=β₂だからψ_λは1対1。

したがってψ_λは全単射だから、BにおけるAの各左剰余類b_jA(1≤j≤d)は、

ψ_λによって互いに交わらない集合ψ_λ(b_jA)=g_λb_jAへ移る。

すなわちg_λB=ψ_λ(B)=ψ_λ(∐_1≤j≤d b_jA)=∐_1≤j≤d ψ_λ(b_jA)= ∐_1≤j≤dg_λb_jA。

g_λb_j∈Gだからg_λb_jAはGにおけるAの左剰余類なので、

g_λBは、d個のGにおけるAの左剰余類の互いに交わらない和集合。

演習問題5

 [iλ]=[λ_j]はiλ≡λ_j (mod p) (1)を意味する。

gcd(λ,p)=1だから、不定方程式(1)の解となる、

1≤i<pなるiが唯一つ存在し、異なるλ_jに対し異なるiを得る。

すなわち任意のλ_j (1≤j≤d)に対し、[iλ]=[λ_j]となる[i]が唯一つ存在するから、

補題9.2.4によりすべての(f, λ_j)について、

(f, λ_j)=(f, iλ)=σ(η)となるσ∈Gal(ℚ(ζ_p)/L_f')が存在する。

演習問題6

|[λ]H_f|=|H_f|=fだから、(f, λ)の定義により、

(f, λ)はf個のζ_p^aの形の項の和である。

補題9.2.4によりf周期はe個で、異なるf周期は共通の項を持たないので、

∑_λ (f, λ)はef=p-1個の相異なるζ_p^aの和だから、

∑_λ (f, λ)=∑_1≤a≤p-1ζ_p^a=Φ_p(ζ_p)-1=-1。