コックス, リトル＆オシー「グレブナ基底と代数多様体入門」第2版 第2章§8の演習問題

演習問題1

Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: -x^3+y;

f2: x^2*y-z;

G:poly_reduced_grobner([f1,f2],[x,y,z]);

f: x*y^3-z^2+y^5-z^3;

poly_pseudo_divide(f,G,[x,y,z]);

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によりf^G=0を得るのでf∈I。

演習問題2

演習問題1と同様にMaximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: x*z-y;

f2: x*y+2*z^2;

f3: y-z;

G:poly_reduced_grobner([f1,f2],[x,y,z]);

f: x^3*z-2*y^2;

poly_pseudo_divide(f,G,[x,y,z]);

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によりf^G=2zを得るのでf∉I。

演習問題3

Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: x^2+y^2+z^2-1;

f2: x^2+y^2+z^2-2*x;

f3: 2*x-3*y-z;

G:poly_reduced_grobner([f1,f2,f3],[x,y,z]);

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よりI=<x²+y²+z²-1, x²+y²+z²-2x, 2x-3y-z>の簡約Gröbner基底はlex順序で

{g₁=x-1/2, g₂=z²-z/5-23/40, g₃=y+z/3-1/3}。

g₁=0よりx=1/2, g₂=0よりz=(2±3√26)/20だから、

g₃=0よりy=(6∓√26)/20（複号同順）

従ってV(I)={(1/2, (6+√26)/20, (2-3√26)/20), (1/2, (6-√26)/20, (2+3√26)/20)}。

演習問題4

Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: x^2*y-z^3;

f2: 2*x*y-4*z-1;

f3: z-y^2;

f4: x^3-4*z*y;

G:poly_reduced_grobner([f1,f2,f3,f4],[x,y,z]);

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よりI=<x²y-z³, 2xy-4z-1, z-y², x³-4yz>の簡約Gröbner基底はlex順序で{1}だから、

I=k[x,y,z]なのでV(I)=∅。

演習問題5

小問a

∂f/∂x=4x³+4xy²-8x-3, ∂f/∂y=4x²y+4y³-8y-3。

V(<∂f/∂x, ∂f/∂y>)が臨界点。

Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f: (x^2+y^2-4)*(x^2+y^2-1)+(x-3/2)^2+(y-3/2)^2;

dfx:expand(diff(f,x));

dfy:expand(diff(f,y));

G: poly_reduced_grobner([dfx,dfy],[x,y]);

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より<∂f/∂x, ∂f/∂y>の簡約Gröbner基底はlex順序で{g₁=x-y, g₂=8y³-8y-3}。

g₂=0よりy=-1/2, (1±√13)/4。g₁=0よりx=yだから、

V(<∂f/∂x, ∂f/∂y>)={(-1/2,-1/2), ((1+√13)/4, (1+√13)/4), ((1-√13)/4, (1-√13)/4)}。

小問b

fのHesse行列は、g₁=0よりx=yとすればH(f)=8((2x²-1,x²), (x²,2x²-1))。

MaximaでfのHessian 64[(2x²-1)²-x⁴]を計算すると、

x=(1-√13)/4のときHessianは26-10√13<0なので鞍点。

x=-1/2とx=(1-√13)/4はHessianが正なので極値点で、

x=-1/2のとき∂²f/∂x²|_x=y=-1/2=-4<0だから極大、

x=(1-√13)/4のとき∂²f/∂x²|_{x=y=(1-√13)/4}=48+16√13>0だから極小。

演習問題6

(4)式の左辺の最後の項は-(1/3)z³ではなく-(1/3)z²の誤植（原著第3版で確認）。

Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: t+u-x;

f2: t^2+2*t*u-y;

f3: t^3+3*t^2*u-z;

G: poly_reduced_grobner([f1,f2,f3],[t,u,x,y,z]);

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で計算すると、7個の簡約Gröbner基底を得る:

G={t+u-x,

u²-x²+y,

-2ux²+2uy+2x³-3xy+z,

uxy-uz-x²y-xz+2y²,

-2uxz+2uy²-2x²z+xy²+yz,

-2uy³+2uz²+4x²yz-xy³+2xz+-5y²z,

-4x³z²+3x²y²+6xyz-4y³-z²}。

この最後の元を3で割って(4)を得る。

ただし(4)式の左辺の最後の項は-(1/3)z³ではなく-(1/3)z²の誤植

（原著第3版で確認）。

本文には（原著第3版でも）「Gの元は6個」とあるが・・・。

簡約Gröbner基底は§7命題6により唯一だから、

変数順序の設定をMaximaで間違っているか、

または本文の（原著第3版でも）「6個」が「7個」の誤植。

演習問題7

小問a

問題文の第1、第2の直線をそれぞれC₁,C₂とする。

パラメターtのある値に対しC₁,C₂上の点がそれぞれ一つ決まり、

通常のベクトル解析からこれら2点を通る直線は、

パラメターをuとして

^t(x,y,z)=u(^t(t,0,1)- ^t(0,1,t))+ ^t(0,1,t)= ^t(ut, 1-u,u+t-ut)なので与式を得る。

小問b

ℝ[t,u,x,y,z]においてlex順序t>u>x>y>zに対する、

<tu-x,-u+1-y,-tu+t+u-z>の簡約Gröbner基底を、Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: t*u-x;

f2: -u+1-y;

f3: -t*u+t+u-z;

G: poly_reduced_grobner([f1,f2,f3],[t,u,x,y,z]);

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で計算すると、G={u+y-1,t-x-y-z+1,xy+y²+yz-2y-z+1}。

<u+y-1,t-x-y-z+1,xy+y²+yz-2y-z+1>⊃<xy+y²+yz-2y-z+1>だから、

§5命題9と第1章§4命題8によりℝ⁵において

V=V(xy+y²+yz-2y-z+1)⊂V(u+y-1,t-x-y-z+1,xy+y²+yz-2y-z+1)。

小問c

小問aよりu,tを消去してℝ³においてxy+y²+yz-2y-z+1=0を得るから、

S上の点はすべてVの方程式を満たすのでS⊂V。

xy+y²+yz-2y-z+1=0よりx=(1-y)[z+x-(1-y)]。

1-y=u, z+x-(1-y)=tとおけばx=ut, y=1-u, z=u+t-ut。

とパラメタ付けられるから、Vの方程式を満たす点は、

Sのパラメタ表示で表せるので、V⊂S。したがってV=S。

演習問題8

小問a

Tの式からt,uを消去して、R²=x²+y²として(R-2)²+z²=1を得るので、

Tは原点を中心とし、大半径R=2, 小半径r=1のトーラス。

小問b

Tの式に普通に代入して

ac+2c-x=0,

ad+2d-y=0,

b-z=0を得る。

小問c

Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: a*c+2*c-x;

f2: a*d+2*d-y;

f3: b-z;

f4: a^2+b^2-1;

f5: c^2+d^2-1;

G: poly_reduced_grobner([f1,f2,f3,f4,f5],[a,b,c,d,x,y,z]);

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で計算して、9個の簡約Gröbner基底が得られる

（全部書き下すと面倒なので略）。

うちa,b,c,dを含まないのは、

x⁴+2x²y²+2x²z²-10x²+y⁴+2y²z²-10y²+z⁴+6z²+9。

演習問題9

小問a

sin(2s)=2ab, cos(2s)=2a²-1, sin(3s)=-4b³+3b, cos(3s)=4a³-3aより、

8a⁵-2a³-3a-x=0, -8a²b³+6a²b-4b³-3b-y=0, 2ab-z=0。

小問b

Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: 8*a^5-2*a^3-3*a-x;

f2: -8*a^2*b^3+6*a^2*b-4*b^3-3*b-y;

f3: 2*a*b-z;

f4: a^2+b^2-1;

G: poly_reduced_grobner([f1,f2,f3,f4],[a,b,x,y,z]);

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で計算して、7個のとても複雑な簡約Gröbner基底が得られる。

書き下すのは面倒なので略。

小問c

演習問題8のTのパラメタ付けの式で、t=2s, u=3sすなわち3t-2u=0とおけば、

Kのパラメタ付けの式になるから、Tの方程式で生成されるイデアルの生成元に、

さらに3t-2uを生成元として追加したイデアルが、

Kの方程式で生成されるイデアルである。

したがってTの方程式は、小問bの方程式で生成されるイデアルに含まれる。

幾何学的にはK⊂T。

演習問題10

球面(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²=r²に接するx⁴+y²+z²-1=0の点のうち、

rが最小のものが求める点。

すなわちLagrangeの未定乗数をλとして、

f₁=x⁴+y²+z²-1=0,

f₂=2x³-λ(x-1)=0,

f₃=y-λ(y-1)=0,

f₄=z-λ(z-1)=0の解。

< f₁, f₂,f₃,f₄>の、lex順序λ>x>y>zでの簡約Gröbner基底は、Maximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: x^4+y^2+z^2-1;

f2: expand(2*x^3-lambda*(x-1));

f3: expand(y-lambda*(y-1));

f4: expand(z-lambda*(z-1));

G: poly_reduced_grobner([f1,f2,f3,f4],[lambda,x,y,z]);

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で計算してGの元として、h₁(z), h₂(z), h₃(z),をzのみの多項式として、

y-z, h₁(z), x-h₂(z), λ-h₃(z)の4つである。

h₁(z)=0をMaximaのrealrootsで解くと実根として

z=-20921873/33554432≃-0.62352040410042と

z=21300981/33554432≃0.63481870293617を得る。

y=z, x=h₂(z)より、(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²=r²に接するx⁴+y²+z²-1=0の点は

(-0.68676072170846, -0.62352040410042, -0.62352040410042)と

(0.66367620270798, 0.63481870293617, 0.63481870293617)となり、

(1,1,1)に近いのは後者。

演習問題11

小問a

f₁=a+b+c-3,

f₂=a²+b²+c²-5,

f₃=a³+b³+c³-7として、

<f₁,f₂,f₃>からlex順序a>b>cでの簡約Gröbner基底Gを求め、

f=a⁴+b⁴+c⁴-9についてf^Gを求める。すなわちMaximaで

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load(grobner)$

poly_monomial_order: lex;

f1: a+b+c-3;

f2: a^2+b^2+c^2-5;

f3: a^3+b^3+c^3-7;

G: poly_reduced_grobner([f1,f2,f3],[a,b,c]);

f: a^4+b^4+c^4-9;

poly_pseudo_divide(f,G,[a,b,c]);

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によりf^G=0だから、§6系2によりf∈<f₁,f₂,f₃>。

よってf₁=f₂=f₃=0の制限のもとでa⁴+b⁴+c⁴-9=0。

小問b

小問aと同様にしてf=a⁵+b⁵+c⁵-11として、f^G=-4だからf∉<f₁,f₂,f₃>。

すなわちa⁵+b⁵+c⁵≠11。

小問c

小問aと同様にしてf=a⁵+b⁵+c⁵として、f^G=29だからa⁵+b⁵+c⁵=29。

同様にf=a⁶+b⁶+c⁶として、f^G=-19だからa⁶+b⁶+c⁶=-19。