コックス「ガロワ理論」 7.5節の演習問題1

演習問題1

P|Qだから、Q=P(x)R(x,y), R=r₀(x)+r₁(x)y+...+r_m(x)y^m∈F[x,y]だから、

a_i(x)=P(x)r_i(x)となりP|a_i。

演習問題2

f=a(x)-yb(x)がF(y)[x]において可約と仮定すると、

f=gh となる定数でないg,h∈F(y)[x]が存在する。

F(y)はF[y]の分数体で、F[y]は定理A.5.6によりUFDだから、

定理A.5.8（Gaussの補題）によりf=g₁h₁となる

定数でないg₁,h₁∈F[y][x]=F[x,y]が存在するが、これはfのF[x,y]での既約性に反する。

したがって、fはF(y)[x]において既約。

演習問題3

(a)

任意のP∈F(y)[x]のxの多項式としての次数をmとすれば、

p₀,...,p_m,q₀,...,q_m∈F[y]としてP=p₀/q₀+(p₁/q₁)x+...+(p_m/q_m)x^mだから、

g(y)=q₀...q_m∈F[y]をとるとgP= P₁∈F[x,y]。

(b)

g(y)h(y)(a(x)-yb(x))=g(y)h(y)AB=A₁B₁。

gとhはyのみの多項式だから、xとyの多項式として

A₁|(a(x)-yb(x))またはB₁|(a(x)-yb(x))。

(c)

g(y)h(y)(a(x)-yb(x))=A₁B₁=(a(x)-yb(x))A₂B₁よりg(y)h(y)=A₂B₁。

g(y)h(y)∈F[y]だからA₂B₁∈F[y]なのでB₁∈F[y]。

(d)

B=B₁/h(y)で、(c)によりB₁∈F[y]またh(y)∈F[y]だからB∈F(y)。

したがってBはF(y)[x]の単数だから、a(x)-yb(x)はF[x,y]において既約。

演習問題4

HTMLでの行列表現は、頑張ればなんとかできるが面倒なので、

(7.26)の行列を((a,b),(c,d))などと書くことにする。

γ,δ∈GL(2,F)をγ=((a,b),(c,d)), δ=((e,f),(g,h))とすると、

γδ=((ae+bg,af+bh),(ce+dg,cf+dh))。

Φ(γ)=σ_γ^-1(t)=(at+b)/(ct+d), Φ(δ)=σ_δ^-1(t)=(et+f)/(gt+h)より、

σ_γ^-1(σ_δ^-1(t))=[(ae+bg)t+af+bh]/[(ce+dg)t+cf+dh]=σ_(γδ)^-1(t)だから、

σ_γ^-1σ_δ^-1=σ_(γδ)^-1となりΦは群準同型。

演習問題5

A(t),B(t)は互いに素で、aまたはcの少なくとも一つは0でなく、

B(t)≠0なのでcとdの少なくとも一つは0でない。

ad-bc=0と仮定する。

abcd≠0でad-bc=0なら、a/c=b/d=kよりA(t)=kB(t)だから、

A(t),B(t)が互いに素であることに反するのでabcd=0。

a=0ならc≠0で、ad-bc=0よりb=0だが、このときA(t)=0だから、

A(t),B(t)が互いに素であることに反するのでa≠0。

b=0ならd≠0で、ad-bc=0よりa=0となり、a≠0に反するからb≠0。

c=0ならa≠0とad-bc=0よりd=0となり、A(t)=at, B(t)=ctだから、

A(t),B(t)が互いに素であることに反するのでc≠0。

d=0ならc≠0とad-bc=0よりb=0となり、b≠0に反する。

以上により、ad-bc≠0だから、((a,b),(c,d))は可逆なのでGL(2,F)の元である。

演習問題6

(a)

I₂を2×2単位行列:GL(2,F)の単位元として、全てのα∈F^についてI₂·α=α。

またγ,δ∈GL(2,F)をγ=((a,b),(c,d)), δ=((e,f),(g,h))とすると、

演習問題4によりα≠∞, α≠-h/g (g≠0)なら、順序に気をつけて

γ·(δ·α)=(γδ)·α=σ_(γδ)^-1(α)=[(ae+bg)α+af+bh]/[(ce+dg)α+cf+dh]。

α=∞ならδ·∞=e/gよりγ·(δ·∞)=γ·(e/g)=(ae+bg)/(ce+dg)=(γδ)·∞,

α=-h/gならδ·α=∞よりγ·(δ·(-h/g))=γ·∞=a/c=(γδ)·(-h/g)。

したがって、全てのα∈F^についてγ·(δ·α)=(γδ)·αとなるので、

γ·αは定義A.4.1を満たすから、F^上のGL(2,F)の作用である。

(b)

λ∈F, λ≠0とし、全てのα∈FについてλI₂·α=λα/λ=αまたλI₂·∞=∞だから、

全てのα∈F^についてλI₂·α=λα/λ=αとなり、λI₂のF^への作用は自明。

すなわち、GL(2,F)の正規部分群F^*I₂について、

任意のγ∈GL(2,F)により定まる剰余類γF^*I₂のF^上の作用は等しいから、

商群GL(2,F)/F^*I₂=PGL(2,F)のF^上の作用は矛盾なく与えられる。