コックス「ガロワ理論」 7.4節の演習問題

演習問題1

fは既約分離多項式だから、命題6.3.7によりGal(L/F)は可移なのでGal(L/F)≠{e}。

また|S₃|=6だから|A₃|=|S₃|/2=3で、

位数3の群は巡回群C₃≃ℤ/3ℤに同型なものしかなく、

さらにC₃の部分群は{e}とC₃だけ。

定理7.4.1(b)によりΔ(f)がFでの平方元の時、

Gal(L/F)の像はA₃≃C₃の部分群となるので、Gal(L/F)≠{e}からGal(L/F)≃C₃。

演習問題2

判別式はMaximaで終結式を用いて求める。

各問で与えられた式の分解体をLとする。

(a)

Schönemann-Eisenstein判定法（定理4.2.3）によりf=x³-4x+2はℚ上規約。

Δ(f)=148は平方数でないので命題7.4.2によりGal(L/ℚ)≃S₃。

(b)

x=a+b√37, a,b∈ℚ, b≠0とし、f=x³-4x+2に代入して整理すると4a³-4a-1=0。

命題A.3.1によりa=p/qならp|1, q|4よりa=±1, ±1/2, ±1/4のいずれかだが、

このどれも4a³-4a-1=0を満たさないから、与式はℚ(√37)上に根を持たないので、

補題A.1.19によりfはℚ(√37) 上既約。

Δ(f)=148=(2√37)²だから命題7.4.2によりGal(L/ℚ(√37))≃C₃。

(c)

命題A.3.1によりx=p/qならp|1, q|1よりx=±1だが、

いずれもf=x³-3x+1=0を満たさないから補題A.1.19によりfはℚ上既約。

Δ(f)=81=9²なので、Gal(L/ℚ)≃C₃。

(d)

明らかにf=x³-tはℂ(t)上に根を持たないから、

命題4.2.6によりx³-tはℂ(t)上既約。

Δ(f)=-27t²=(3i√3t)²よりGal(L/ℂ(t))≃C₃。

(e)

(d)と同様にf=x³-tはℚ(t)上既約で、Δ(f)=-27t²はℚ(t)の元の平方でないから、

Gal(L/ℚ(t))≃S₃。

演習問題3

(a)

sgn((12))=-1だから定理7.4.1により(12)·f=A-B√Δなので、

f+(12)·f=2A。

(b)

2Aは対称式だから、f+(12)·fも対称式。すなわちf+(12)·fは対称多項式だから、

定理2.2.2によりσ_iの多項式。したがってA∈F[σ₁,..,σ_n]。

(c)

(12) ∈S_nだから(12)·A=Aとなるので、

(12)·f=A-B√Δより(12)·(f-A)=-B√Δ。

故にP=(f-A)[(12)·(f-A)]=-B²Δ。

(d)

v²P=-u²Δでv∤uだから、v|Δとなるが、ΔはF[σ₁,..,σ_n]上既約だから、

vは F[σ₁,..,σ_n]の単数でなければならない。

したがってB∈F[σ₁,..,σ_n]。

演習問題4

(a)

問題の写像をφ_gとすると、

任意のh∈Gに対し、g^-1h∈Gをとればφ_g(g^-1h)=hとなるからφ_gは全射。

φ_g(h₁)=φ_g(h₂)=hならh₁=h₂=g^-1hだからφ_gは1対1。

(b)

φ_gは1対1で全射だから、Caley表の各行において、線の左の元gによって

Gの各元は別の元に重複なく移されるので、Caley表の各行はGの元の置換となる。

(c)

(a)(b)により任意のg∈Gに対しφ_gはGの元の置換を定義するから、

g_iによる置換を、g_jの添字の置換σ_i∈S_nで表現できる。

すなわちφ_gi(g_j)=g_ig_j=g_σi(j)。

演習問題5

σ₁=(1)

σ₂=(123)(456)

σ₃=(132)(465)

σ₄=(14)(26)(35)

σ₅=(15)(24)(36)

σ₆=(16)(25)(34)

演習問題6

(a)

任意のg_l∈Gについてg_ig_jg_l=g_ig_σj(l)=g_σiσj(l)。

一方g_ig_jg_l=g_kg_l=g_σk(l)だから、σ_iσ_j=σ_k。

(b)

(a)によりこの写像は群準同型。

g_i→σ₁=(1)ならi=1だから、この写像の核は{g₁}={e}なので1対1。

演習問題7

Lは3次多項式fの分解体だから、定理5.1.5によりF⊂Lは有限次拡大なので、

定理7.1.1によりF⊂LはGalois拡大となり、定理7.1.5により|Gal(L/F)|=[L:F]。

√(Δ(f)) ∈Fなので、定理7.4.2によりGal(L/F)≃S₃だから|Gal(L/F)|=[L:F]=6。

(2.30)式によりΔ(f) ∈Fなので、√(Δ(f))のF上の最小多項式はx²-Δ(f)だから、

[F(Δ(f)):F]=2なので、定理4.3.8（塔定理）により[L:F(Δ(f))]=3である。

命題7.1.3によりF(Δ(f)) ⊂LはGalois拡大だから、定理7.1.5により

|Gal(L/F(Δ(f)))|=[L:F(Δ(f))]=3。

位数3の群は巡回群C₃≃ℤ/3ℤに同型なものしかないのでGal(L/F(Δ(f)))≃C₃。

また、C₃⊂S₃は可移だから、命題6.3.7によりfはF(Δ(f))上既約。