コックス「ガロワ理論」 7.1節の演習問題1

演習問題1

σ∈Gal(L/F)だからσはF上恒等なので、F⊂L_H。また0,1∈L_H。

σはL上の自己同型だから、α,β∈L_Hに対し

σ(α+β)=σ(α)+σ(β)=α+β, σ(αβ)=σ(α)σ(β)=αβ, σ(α^-1)=α^-1

となるので、σ(α+β), σ(αβ), σ(α^-1) ∈L_Hで一意なので、L_Hは体。

L_Hの定義によりL_H⊂Lだから、L_Hは Lの部分体である。

演習問題2

fのF上の分解体をL'とする。fの作り方から、

L'はF上の既約多項式q_i (1≤i≤r)の根を全て含むので、L⊂L'。

またF⊂Lは正規なので、各q_iはL上完全分解するからL'⊂L。

したがってL=L'なので、LはfのF上の分解体。

演習問題3

α,βのF上の最小多項式をそれぞれf,gとし、fgの分解体をKとすると、

α,βはF上分離的だからf,gはF上分離的で、Kにおいてfg は完全分解し、

fの根をα₁=α,...,α_deg(f)、gの根をβ₁=β,...,β_deg(g)とすると、

K =F(α₁,...,α_deg(f), β₁,...,β_deg(g))

（もしあるi,jについてα_i=β_jならf=gとなるので、

このときは単にK =F(α₁,...,α_deg(f))と同じこと）。

F⊂Kは定理5.1.5により有限次代数拡大だから、

命題7.1.6によりKはF上分離的である。

したがってα+β,αβ,α/β∈K∩LもF上分離的。

つまり得体の知れないLなど無視して分解体で考えればいい

演習問題4

（標数0なら補題4.4.2と定理5.3.7(b)によりF⊂Lは分離的）

(a)

演習問題3によりKは体だからKはLの部分体で、

Fの元は全てF上分離的なのでF⊂K。

したがって体Kの元が全てF上分離的となるので、

F⊂Kは分離拡大。

(b)

F⊂Lが分離的ならK=Lは自明だから、F⊂Lは分離的でないとする。

定理5.3.15(c)により、F⊂KまたはK⊂Lは分離的でないが、

(a)によりF⊂Kは分離的なのでK⊂Lが分離的でない。

Kの定義により、L∖Kの全ての元はF上分離的でなく、

したがってK上分離的でないから、K⊂Lは純非分離拡大。

演習問題5

有限次拡大F⊂Lは分離的だから、命題7.1.6により、

F上分離的なα₁,...,α_n∈Lが存在してL=F(α₁,...,α_n)。

命題7.1.6の証明と同様に、α₁,...,α_nの最小多項式p₁,...,p_nのうち、

異なる多項式q₁,...,q_rをとり、f=q₁...q_rとすれば、

fのL上の分解体Mが、F⊂LのGalois閉包である。

MはfのL上の分解体なので、系5.1.7により他のfの分解体との間に、

L上恒等である同型が存在するから、

F⊂LのGalois閉包は同型を除いて一意である。

演習問題6

Galois閉包から分離性を外したものが正規閉包で、

命題7.1.7の類似は：

F⊂Lを有限次拡大とする。このとき次のような拡大L⊂Nが存在する。

(a) F⊂Nは正規拡大

(b) 他の正規拡大L⊂N'に対し、L上恒等となる体の準同型φ:N→N'が存在する。

命題7.1.6や命題7.1.7の証明で効いている系5.1.7や定理5.2.4においては、

系5.1.7では分解体の一般的性質だけが用いられており、

定理5.2.4では拡大が有限次正規拡大であることが本質的である。

分離性は、正規拡大がさらにGalois拡大になるために導入されているに過ぎない。

したがって、証明は命題7.1.7と同様で、ただし分離性を外すだけでよい。

演習問題7

演習問題6で示したように、演習問題5で分離性を外すだけでよい。