シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第20章練習問題

20.1

(a)

λ(30)= λ(2¹·3¹·5¹)=-1

λ(504)= λ(2³·3²·7¹)=1

λ(60750)= λ(2¹·3⁵·5³)=-1

(b)

pが素数ならλ(p)=-1。それ以外はλ(4)= λ(6)= λ(9)= λ(14)= λ(15)= λ(16)=1、

λ(1)=λ(8)= λ(12)= λ(18)=-1。

これより、pが素数ならG(p)=-2。それ以外は

G(1)= G(4)=G(9)=G(16)=-1

G(6)= G(8)=G(10)=G(12)=G(14)= G(15)=G(18)=-2

(c)

例えばG(36)=-1。nが平方数なら素数の平方でも合成数の平方でもG(n)=-1。

そうでなければG(n)=-2と予想される。

62141689は平方数、60119483は平方数でない。

G(62141689)= G(7883²)=-1、G(60119483)=-2と予想される。

(d)

平方数の約数は奇数個なのに対し、そうでない数の約数は偶数個であることが

効いているようなのだが…。

20.2

(a)

mnの積に対し、m,nの素因数分解の指数は加法的に作用するから、

明らかにλ(mn)= λ(m) λ(n)。gcd(m,n)=1でなくてもよい。

(b)

gcd(m,n)=1から、mnの約数はm,nの約数の積なので、補助定理20.1と全く同様に証明できる。

20.3

(a)

σ₂(12)=210, σ₃(10)=1134, σ₀(18)=6。

(b)

冪乗は常に乗法的関数だから、練習問題20.2(b)によりσ_tも乗法的関数。

gcd(m,n)=1でなければ補助定理20.1の証明のような因数分解が出来ないので、

乗法的とならない。

(c)

t>0なら15章のσ(p^k)の公式の導出と同様で、ただしσ_t (p^k)では、

公比がpでなくp^tになるだけである。したがって、σ_t (p^k)=(p^t(k+1)-1)/(p^t-1)

σ₄(2⁶)= 17895697。

t=0ならσ₀(p^k)=k+1。

(d)

42336000=2⁸·3³·5³·7²より、σ₀(42336000)= 9·4·4·3=432。