シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第27章練習問題

27.1

(a) 4370=2·5·19·23で19≡23≡3(mod 4)だから表せない。

(b) 1885=5·13·29だから表せて、1885=43²+6²。

(c) 1189=29·41だから表せて、1189=33²+10²。

(d) 3185=5·7²·13だから表せて、3185=56²+7²。

27.2

(a) 4370=2·5·19·23で19≡23≡3(mod 4)だから表せない。

(b) 1885²=1813²+516²

(c) 1189²=989²+660²

(d) 3185の素因数には7²があるので、規約ピタゴラス数の斜辺としては現れない。

27.3

定理27.2においてa=st=5929=7²·11²とみて、

s=7, t =11とおけば、(a,c)=(36, 85)。

s=1, t=7·11とおけば、(a,c)=(2964, 2965)。

27.4

あるiに対しp_i≡3 (mod 4)とし、m=A²+B²と表せたとする。

もしp_i |A²ならp_i²|A², p_i²|B²だから、p_iはMの素因数に含まれるので問題の場合ではない。

そこでp_i |A²でないとすると、A²+B²≡0 (mod p_i)で、A, B ≢0 (mod p_i)。

p_iは素数なので、AA^-1≡1 (mod p_i)となるA^-1が、練習問題9.2の補題2により存在するから、

1+(A^-1B)²≡0 (mod p_i)より(A^-1B)²≡-1 (mod p_i)。つまり(-1/p_i)=1となるが、

p_i≡3 (mod 4)なので平方剰余の相互法則に反する。

したがって、mを2つの平方数の和に表すことはできない。

27.5

おそらく定理27.1(b)もこの練習問題27.5(a)(b)も記述不足で、定理27.1(a)でM=1、

つまり「数mが奇数/偶数かつ相異なる素数の積に素因数分解できて」

という前提の話だと思う。原著でどうなっているのか知らないが。

もしそうでなければ、素数p₁, p₂≡1 (mod 4)としてm= p₁ p₂²のとき、

mは練習問題27.5(a)の条件を満たすが、gcd(a,b)= p₂となることが可能。

(a)

定理27.1(a)により、mは2つの平方数の和としてm= a²+b²と表せるが、

gcd(a,b)=M>1なら、a=a'M, b=b'Mとしてm=M²(a'²+b'²)なので、

mは相異なる素数の積のみにならない。したがってgcd(a,b)=1。

(b)

定理27.1(a)を用い、(a)と同様に証明できる。

(c)

mが素数なら定理26.1により明らか。

mの素因数に素数の平方p²があるとき、p²|( a²+b²)ならp|a, p|bとなる事を示せれば、

gcd(a,b)=1と矛盾するので、(a)(b)のどちらかの数であることがわかるのだが、

どうやればいいんだろう・・・。

27.6

(a)

(i) 10=3²+1²のみなので、S(10)=1。

(ii) 70=2·5·7で7≡3 (mod 4)だから、2つの平方数に表すことはできないのでS(70)=0。

(iii) 130=2·5·13=9²+7²=11²+3²なので、S(130)=2。

(iv) 1105=5·13·17=33²+4²=32²+9²=31²+12²=24²+23²なので、S(1105)=4。

(b)(c)(d)

S(5)=1, S(5·13)=2, S(5·13·17)=4, S(5·13·17·29)=8,

S(13)=1, S(13·17)=2, S(13·17·29)=4, S(13·17·29·37)=8。

から、

S(p₁ p_2... p_r)=2^(r-1)

と予想される。証明は・・・。