シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第23章練習問題

23.1

mod 19で

b	1	2	3	4	5	6	7	8	9
b2	1	4	9	16	6	17	11	7	5
b	10	11	12	13	14	15	16	17	18
b2	5	7	11	17	6	16	9	4	1

QRは1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17

NRは2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 18

23.2

(a)

2: A=0 ,B=1 ,A+B=1 ,A(mod 2)=0 ,B(mod 2)=1

3: A=1 ,B=2 ,A+B=3 ,A(mod 3)=1 ,B(mod 3)=2

5: A=5 ,B=5 ,A+B=10 ,A(mod 5)=0 ,B(mod 5)=0

7: A=7 ,B=14 ,A+B=21 ,A(mod 7)=0 ,B(mod 7)=0

11: A=22 ,B=33 ,A+B=55 ,A(mod 11)=0 ,B(mod 11)=0

13: A=39 ,B=39 ,A+B=78 ,A(mod 13)=0 ,B(mod 13)=0

17: A=68 ,B=68 ,A+B=136 ,A(mod 17)=0 ,B(mod 17)=0

19: A=76 ,B=95 ,A+B=171 ,A(mod 19)=0 ,B(mod 19)=0

23: A=92 ,B=161 ,A+B=253 ,A(mod 23)=0 ,B(mod 23)=0

29: A=203 ,B=203 ,A+B=406 ,A(mod 29)=0 ,B(mod 29)=0

31: A=186 ,B=279 ,A+B=465 ,A(mod 31)=0 ,B(mod 31)=0

37: A=333 ,B=333 ,A+B=666 ,A(mod 37)=0 ,B(mod 37)=0

41: A=410 ,B=410 ,A+B=820 ,A(mod 41)=0 ,B(mod 41)=0

43: A=430 ,B=473 ,A+B=903 ,A(mod 43)=0 ,B(mod 43)=0

47: A=423 ,B=658 ,A+B=1081 ,A(mod 47)=0 ,B(mod 47)=0

53: A=689 ,B=689 ,A+B=1378 ,A(mod 53)=0 ,B(mod 53)=0

59: A=767 ,B=944 ,A+B=1711 ,A(mod 59)=0 ,B(mod 59)=0

61: A=915 ,B=915 ,A+B=1830 ,A(mod 61)=0 ,B(mod 61)=0

67: A=1072 ,B=1139 ,A+B=2211 ,A(mod 67)=0 ,B(mod 67)=0

71: A=994 ,B=1491 ,A+B=2485 ,A(mod 71)=0 ,B(mod 71)=0

73: A=1314 ,B=1314 ,A+B=2628 ,A(mod 73)=0 ,B(mod 73)=0

79: A=1343 ,B=1738 ,A+B=3081 ,A(mod 79)=0 ,B(mod 79)=0

83: A=1577 ,B=1826 ,A+B=3403 ,A(mod 83)=0 ,B(mod 83)=0

89: A=1958 ,B=1958 ,A+B=3916 ,A(mod 89)=0 ,B(mod 89)=0

97: A=2328 ,B=2328 ,A+B=4656 ,A(mod 97)=0 ,B(mod 97)=0

(b)

A+Bは1からp-1までの数の和。

QRとなる数とNRとなる数で1からp-1までの数がすべて尽くされるからである。

(c)

p≥5の素数についてA≡0 (mod p), B≡0 (mod p)。

p≥5ならAは(p-1)/2個の偶数個の平方剰余の和で、(p-b)²≡b² (mod p)だから、

2Aは1からp-1までの数の平方の和と合同である。

したがって2A≡(p-1)p(2p-1)/6≡0 (mod p)。gcd(2,p)=1なのでA≡0 (mod p)。

(b)によりA+B≡(p-1)p/2≡0 (mod p)。だから、B=A+B-A≡0 (mod p)。

(d)

p≡1 (mod 4)の素数の場合。「第23章」とあるのは「第24章」の誤植だろう。

(e)

Bの方が大きい。
...

23.3

(a)

5: 1 2 3 4

7: 1 6

11: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13: 1 5 8 12

(b)

19を法とした立方剰余は1, 7, 8, 11, 12, 18

a₁,b₁(>a₁)が立方剰余でなく、a₁b₁が立方剰余となる数：

a₁=2に対しb₁=4, 6, 9, 10, 13, 15

a₁=3に対しb₁=4, 6, 9, 10, 13, 15

a₁=4に対しb₁=5, 14, 16, 17

a₁=5に対しb₁=6, 9, 10, 13, 15

a₁=6に対しb₁=14, 16, 17

a₁=9に対しb₁=13, 16, 17

a₁=10に対しb₁=14, 16, 17

a₁=13に対しb₁=14, 16, 17

a₁=14に対しb₁=15

a₁=15に対しb₁=16, 17

a₁=16に対しb₁ (>a₁)はない

a₁, b₁ (>a₁)が立方剰余でなく、a₁ b₁も立方剰余でない数：

a₁=2に対しb₁=3, 5, 14, 16, 17

a₁=3に対しb₁=5, 14, 16, 17

a₁=4に対しb₁=6, 9, 10, 13, 15

a₁=5に対しb₁=14, 16, 17

a₁=6に対しb₁=9, 10, 13, 15

a₁=9に対しb₁=10, 13, 15

a₁=10に対しb₁=13, 15

a₁=13に対しb₁=15

a₁=14に対しb₁=16, 17

a₁=15に対しb₁ (>a₁)はない

a₁=16に対しb₁=17

(c)

p≡2 (mod 3)の素数の場合の立方剰余は例えば

p =5: 1 2 3 4

p =11: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p =17: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1≤a≤p-1のすべてのaは立方剰余になると予想される。

l ∈ℕ , 1≤a≤p-1として3次合同式x³≡a (mod 3l+2)のある底での指数をとると、

3I(x) ≡I(a)  (mod 3l+1)。

gcd(3, 3l+1)=1だから、すべてのI(a)に対し解I(x)が存在する。

したがって、すべてのaに対し立方根が存在するので、aは立方剰余になる。

(d)

p≡1(mod 3)の素数の場合の立方剰余は例えば

p =7: 1 6

p =13: 1 5 8 12

p =19: 1 7 8 11 12 18

l ∈ℕ , 1≤a≤p-1として3次合同式x³≡a (mod 3l+1)のある底での指数をとると、

3I(x) ≡I(a)  (mod 3l)。

gcd(3, 3l)=3だから、解I(x)が存在するためには、3| I(a)でなければならない。