シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第41章練習問題2

41.8

φ(p⁰)=1, φ(p^k)=p^k-p^k-1(k≥1)より、

φ(p⁰)+ φ(p¹)x+φ(p²)x²+φ(p³)x³+...=G(px)- xG(px)=G(px)(1-x)=(1-x)/(1-px)

41.9

(a)

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123

(b)

Fibonacci数で行ったのと同様に、

母関数L(x)はL(x)=L₁x+ L₂x²+x²L(x)+x(L(x)-L₁x)を満たすから、

L₁=1, L₂=3よりL(x)=(x+2x²)/(1-x- x²)=-2+(2-x)/(1-x- x²)

(c)

Fibonacci数で行ったのと同様に、γ=(√5+1)/2, 1/γ=(√5-1)/2として、

L_n=γⁿ+(-1/γ)ⁿとなり、練習問題37.4と一致する(α₁=γ, α₂=-1/γ)。

41.10

(a)

1, 2, 4, 8, 16...

練習問題37.5と同様にして特性方程式からa_n=2^n-1。母関数はx/(1-2x)。

(b)

1, 3, 4, 2, -4, -12,...

練習問題37.5と同様にして特性方程式からb_n=[(-1-3i)(1+i)ⁿ+(-1+3i)(1-i)ⁿ]/4。

母関数は(1-2i)x/{2[1-(1+i)x]}+(1+2i)x/{2[1-(1-i)x]}。

(c)

1, 1, 1, -15, -79, -511,...

練習問題37.5と同様にして特性方程式からc_n=2ⁿ⁺³/15+(-3)^n-1/10-5^n-1/6。

母関数は16x/[15(1-2x)]+x/[10(1+3x)]- x/[6(1-5x)]。

41.11

(a)

母関数をA(x)とすると、Fibonacchi数について41章で行ったのと同様にして、

A(x)=x-3x²+5xA(x)-6x²A(x)よりA(x)=x/(1-2x)=∑_n≥0 2ⁿxⁿ⁺¹=∑_n≥1 2^n-1xⁿ

だからa_n=2^n-1。数列1, 2, 4, 8, 16...を与え、41.10(a)と一致する。

(b)

母関数をB(x)とすると、(a)と同様にして

B(x)=x+x²+2xB(x)-2x²B(x)より

B(x)= (1-2i)x/{2[1-(1+i)x]}+(1+2i)x/{2[1-(1-i)x]}

だからb_n=[(-1-3i)(1+i)ⁿ+(-1+3i)(1-i)ⁿ]/4。数列1, 3, 4, 2, -4, -12,...を与え、

41.10(b)と一致する。

(c)

母関数をC(x)とすると、(a)と同様にして

C(x)=x-3x²-14x²+4xC(x)+11x²C(x) -30x³C(x)より、

C(x)= 16x/[15(1-2x)]+x/[10(1+3x)]- x/[6(1-5x)]だから、

c_n=2ⁿ⁺³/15+(-3)^n-1/10-5^n-1/6。

数列1, 1, 1, -15, -79, -511,...を与え、41.10(c)と一致する。

41.12

(a)

|H_n+1xⁿ⁺¹/H_nxⁿ|=(1+1/n)^k|x|→|x| (n→∞)より、

|x|<1なる任意のxについて級数∑_n≥0 H_nxⁿは比判定法の条件を満たす。

したがって収束半径は1。

(b)

|F_n+1xⁿ⁺¹/F_nxⁿ|→γ|x| (n→∞)より、

|x|<1/γ<1なる任意のxについて級数∑_n≥0 F_nxⁿは比判定法の条件を満たす。

したがって収束半径は1/γ。

41.13

(a) e^x (b) xe^x

41.14

(a)

df(x)/dx=F₁+ F₂x+F₃x²/2!+..., d²f(x)/dx²=F₂+ F₃x+F₄x²/2!+...、F_n-F_n-1=F_n-2より、

d²f(x)/dx²-df(x)/dx=f(x)。f(0)=F₀=1, df(0)/dx=F₁=1のもとでこれを解いて、

f(x)=[γe^γx+(1/γ)e^-x/γ]/√5。

41.15

a_m=∑_1≤k≤N k^mより指数的母関数は

∑_m≥0 a_mx^m/m!=∑_1≤k≤N ∑_m≥0 (kx)^m/m!= ∑_1≤k≤N e^kx=e^x(1- e^Nx)/(1-e^x)