シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第40章練習問題3

40.7

(a)

m=1の時は命題40.1においてa=b=b₁だから、r=b₁, t=2, s²D=b₁²+4。

m>1に対しB= [(b₁, b₂,... b_m)]、m次近似分数を p_m/q_m= [b₁, b₂,... b_m]とする。

定理39.1のp_m,q_mの漸化式（ただし定理39.1とは添字が1ずれて0からの開始）より、

B=[(b_m+1/B) p_m-1+p_m-2]/[(b_m+1/B) q_m-1+q_m-2]。

ただし、練習問題39.4の流儀に従いp₀,q₀を定義している。

これよりr=p_m-q_m-1, t=2q_m, s²D=r²+4q_mp_m-1。

(b)

[(1)]=(1+√5)/2。

[(1, 2)]=(1+√3)/2。

[(1, 2, 3)]=(4+√37)/7。

[(1, 2, 3, 4)]=(9+2√39)/15。

[(1, 2, 3, 4, 5)]=(195+√65029)/314。

[(1, 2, 3, 4, 5, 6)]=(103+2√4171)/162。

(c)

A=[a₁, a₂,... a_ℓ, (b₁, b₂,... b_m)]=(R+S√D)/T, ℓ次近似分数を P_ℓ/Q_ℓ= [a₁, a₂,... a_ℓ],

B= [(b₁, b₂,... b_m)]=(r+s√D)/tとする。

ここで二次無理数AとBの平方根の中が両方共Dであることは、

定理40.2の証明から保証されている。また、(a)と同様にP₀,Q₀を定義している。

ℓ=1に対しA=a₁+1/BよりR=r(a₁r+t)-a₁s²D,S=-st, T=r²-s²D。

ℓ>1に対しA=[(a_ℓ+1/B) P_ℓ-1+P_ℓ-2]/[(a_ℓ+1/B) Q_ℓ-1+Q_ℓ-2]より、

R=(P_ℓr+P_ℓ-1t)(Q_ℓr+Q_ℓ-1t)-P_ℓQ_ℓs²D,

S=(-1)^ℓ-1st,

T=(Q_ℓr+Q_ℓ-1t)²-Q_ℓ²s²D。

(d)

[6, 5, 4, 3, 2, (1)]=(115759+√5)/18698。

[6, 5, 4, 3, (1, 2)]=(5487-√3)/886。

[6, 5, 4, (1, 2, 3)]=(1901+√37)/308。

[6, 5, (1, 2, 3, 4)]=(68-√39)/10。

[6, (1, 2, 3, 4, 5)]=321+√65029)/86。

40.8

(b)

x²-Dy²=-1の最小解が存在すれば"negative solution"で表す。

D=76: x=57799, y=6630

D=77: x=351, y=40

D=78: x=53, y=6

D=79: x=80, y=9

D=80: x=9, y=1

D=82: x=163, y=18, negative solution: x=9, y=1

D=83: x=82, y=9

D=84: x=55, y=6

D=85: x=285769, y=30996, negative solution: x=378, y=41

D=86: x=10405, y=1122

D=87: x=28, y=3

D=88: x=197, y=21

D=89: x=500001, y=53000, negative solution: x=500, y=53

D=90: x=19, y=2

D=91: x=1574, y=165

D=92: x=1151, y=120

D=93: x=12151, y=1260

D=94: x=2143295, y=221064

D=95: x=39, y=4

D=96: x=49, y=5

D=97: x=62809633, y=6377352, negative solution: x=5604, y=569

D=98: x=99, y=10

D=99: x=10, y=1

40.9(a)(b)

40.10

参考：Steinig (1992), 河村央也