シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第41章練習問題1

41.1

(a)

E(x)=0+2x+4x²+...=2N(x)=2x/(1- x)²。

(b)

J(x)=G(x)+2N(x)=(1+x)/(1- x)²。

(c)

E(x²)+xJ(x²)=N(x)

E(x²)の各項は2nx²ⁿ、xJ(x²) の各項は(2n+1)x²ⁿ⁺¹だから、

単にE(x²)+xJ(x²)=∑_k kx^kである。

41.2

a_n=a+nm(n≥0)として

∑_n a_nxⁿ=a∑_n xⁿ +m∑_n nxⁿ=aG(x)+mN(x)=[a+x(m-a)]/(1- x)²。

41.3

(a)

C(x)=∑_n n³xⁿ=x(d/dx)S(x)=x(1+4x+x²)/(1-x)⁴。

(b)

Q(x)=∑_n n⁴xⁿ=x(d/dx)C(x)=x(1+11x+11x²+x³)/(1-x)⁵。

(c)

U(x)=∑_n n⁵xⁿ=x(d/dx)Q(x)=x(1+26x+66x²+26x³+x⁴)/(1-x)⁶。

(d)

X(x)=∑_n n⁶xⁿ=x(d/dx)U(x)=x(1+57x+302x²+302x³+57x⁴+x⁵)/(1-x)⁷。

41.4

(a)

1,2,3,4,5

(b)

G(x)²=(1+x+x²+...)²のxⁿの項は、(1+x+x²+...+ xⁿ)²の部分積のxⁿの項である。

積がxⁿになる項の組は(n+1)組あるから、G(x)²=∑_n (n+1)xⁿ。

したがって、G(x)²-G(x)=∑_n nxⁿ=N(x)=x/(1-x)²。

41.5

T_n=n(n+1)/2(n≥0)より∑_n≥0 T_nxⁿ=(1/2)∑_n≥0 (n²+n)xⁿ=(S(x)+N(x))/2=x/(1-x)³。

41.6

(a)

_nC₁=n, ₀C₁=0から∑_{n≥0 n}C₁xⁿ=∑_n≥1 nxⁿ=N(x)=x/(1-x)²。

(b)

_nC₂=n(n-1)/2 (n≥2), _nC₂=0 (n<2)から

∑_{n≥0 n}C₂xⁿ=(1/2)∑_n≥2 n(n-1)xⁿ=[S(x)-x-(N(x)-x)]/2=x²/(1-x)³。

(c)

_nC₃=n(n-1)(n-2)/6 (n≥3), _nC₃=0 (n<3)から

∑_{n≥0 n}C₃xⁿ=(1/6)∑_n≥3 n(n-1)(n-2)xⁿ=[ C(x)-x-8x²-3(S(x) -x-4x²)+2(N(x)-x-2x²)]/6

=x³/(1-x)⁴。

(d)

問題文の_nC₃は_nC_kの誤植。∑_{n≥0 n}C_kxⁿ=x^k/(1-x)^k+1が予想される。

(e)

kについての数学的帰納法で証明する。

k=1の時は(a)で示した。

k=mの時成り立つとして、k=m+1のときは、

∑_{n≥0 n}C_m+!xⁿ=∑_n≥0 n!xⁿ/{(m+1)![n-(m+1)]!} =∑_n≥0 [(n-m)/(m+1)]n!xⁿ/[m!(n-m)!]

=[∑_n≥0 n_nC_mxⁿ-m∑_{n≥0 n}C_mxⁿ]/(m+1)={x(d/dx)[x^m/(1-x)^m+1]- mx^m/(1-x)^m+1}/(m+1)= x^m+1/(1-x)^k+2

となりk=m+1のときも成り立つ

41.7

「練習問題41.7で」は「練習問題41.3で」の誤植。

(a)

k=0のときP₀(x)=1で存在する。

k=mのときD_m(x)=P_m(x)/(1-x)^m+1となる整式P_m(x)が存在したとすると、

k=m+1に対しD_m+1(x)=x(d/dx)D_m(x)=[x/(1-x)^m+2][ P_m'(x)(1-x)+(m+1)P_m(x)]、

ただしP_m'(x)= dP_m(x)/dx。

したがって整式P_m+1(x)=x[P_m'(x)(1-x)+(m+1)P_m(x)]が存在する。

(b)

P₀(0)=1、P_k(0)=0 (k≥1)。

(a)での作り方からk≥1に対しある多項式Q_k(x)=P_m'(x)(1-x)+(m+1)P_m(x)が存在して

P_k(x)=xQ_k(x)なので、P_k(0)=0 (k>0)。

(c)

P₀(1)=1、P₁(1)=1、P₂(1)=2、P₃(1)=6、P₄(1)=24、P₅(1)=120、P₆(1)=720。

P_k+1(1)=(k+1)P_k(1)すなわちP_k(1)=k!が予想される。

k=0のときP₀(x)=0!で成り立つ。

k=mのときP_m(1)=m!となったとすると、

k=m+1に対しP_m+1(x)=x[P_m'(x)(1-x)+(m+1)P_m (x)]においてx=1だから、

P_m+1(1)= (m+1)P_m (1)=(m+1)!となりk=m+1でも成り立つ。

(d)

P₀^'(0)=0, P₁^'(0)=P₂^'(0)=P₃^'(0)=P₄^'(0)=P₅^'(0)=P₆^'(0)=1。

k=1のときP₁^'(0)=1で成り立つ。

k=m≥1のときP_m^'(0)=1となったとすると、

k=m+1に対しP_m+1^'(x)=P_m'(x)(1-x)+(m+1)P_m (x)+xQ_m'(x)においてx=0だから、

P_m(0)=0 (m≥1)よりP_m+1^'(0)=P_m^'(0)=0となりk=m+1でも成り立つ。

P₀^'(1)=0, P₁^'(1)=1, P₂^'(1)=3, P₃^'(1)=12, P₄^'(1)=60, P₅^'(1)=360, P₆^'(0)=2520。

k≥1のときP_k+1^'(1)=(k+2) P_k^'(1)すなわちP_k^'(1)=(k+1)!/2と予想される。

k=1のときP₁^'(1)=1で成り立つ。

k=m≥1のときP_m^'(1)= (m+1)!/2となったとすると、

k=m+1に対し、P_m+1(x)=x[P_m'(x)(1-x)+(m+1)P_m(x)]より

P_m+1^'(x)= (1-x)P_m''(x) +(m+1-x)P_m'(x) +(m+1)P_m (x)だから、

P_m+1^'(1)=mP_m'(1) +(m+1)P_m(1)=(m+2)!/2となりk=m+1でも成り立つ。

(e)

各項の係数が対称に並んでいる。