シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第44章練習問題1

44.1

規約Pythagoras数についてのみ考えれば十分。

a²+b²=c²の解(a,b,c)のどの2つも互いに素とする。

ある自然数uが存在してab/2=2u²すなわちab=4u²=(2u)²

と平方数になったとすると、aとbは互いに素だから、

aとbはそれぞれが平方数なので、x,yを自然数としてa=x², b=y²とおける。

すなわち、x⁴+y⁴=c²の整数解(x,y,c)が存在することになるが、

これはFermatの最終定理に反する。したがって、Pythagoras三角形で

その面積が平方数の2倍であるものは存在しない。

44.2

(a)

P(-1,0), Q(0,1), R(0,-1), S(2,3), T(2,-3)とする。

P⊕Q=T, P⊕R=S, P⊕S=R, P⊕T=Q, Q⊕S=P, Q⊕T=S, R⊕S=T, R⊕T=P

（傾き∞になってしまうQ⊕RとS⊕Tは考えない）

なので、これら5点からは新しい解は生成されない

特に直線SRとQTはEに接していてQ⊕T=S, R⊕S=Tとなることと、

対称点Pの存在が、新しい解の生成を妨げている。

(b)

P(3,8), Q(3,-8), R(-5,16), S(-5,-16)とする。

P⊕R=Q, Q⊕S=Pで、PとQでPRとQSはそれぞれEに接する。

P⊕S=T(11,-32), Q⊕R=U(11,32)で新しい点が生成される。

U⊕R=S, T⊕S=Rで、RとSでRUとSTはそれぞれEに接する。

U⊕Q=T, T⊕P=Uで、TとUでQUとPTはそれぞれEに接する。

すべての点でEへの接線ができたので、これ以上解は生成されない。

したがって、ねじれ点集合は

P(3,8), Q(3,-8), R(-5,16), S(-5,-16), T(11,-32), U(11,32)。

つまり定理44.2,44.3が言っているのは、判別式が正の場合、

ねじれ点集合に属する点は必ず整数点で、

そこから出発するといつか必ず接線か対称点が作られて、

解の生成が有限個で(Mazurの定理44.2(b)によれば15個までで)

終わるということか。ふしぎ・・・。

（整数点でもねじれ点集合に必ず属するとは限らないが）。

(c)

Eのゼロ点(y=0となる点)は(α,0), (β,0), (γ,0)しかなく、

(α,0), (β,0), (γ,0)のうちどの2点を結ぶ直線もy=0だから、

(α,0), (β,0), (γ,0)の以外の点は生成されない。

したがって、(α,0), (β,0), (γ,0)はねじれ点集合。

44.3

判別式=9472≠0。

まず整数点(0,4), (0,-4), (1,1), (1,-1), (4,4), (4,-4)が見つかる。

探索すると、

(-4,4),(-4,-4), (8, 20), (8,-20), (24,116), (24, -116)が見つかるが、

(-20/9,172/27), (-20/9,-172/27), (-80/49,2108/343), (-80/49,-2108/343)...

なども得られ、あとは有理解が無数に続きそうなムードで、

ねじれ点集合ではないらしい。とりあえず見つかった整数解は

(0,4), (0,-4), (1,1), (1,-1), (4,4), (4,-4), (-4,4),(-4,-4),

(8, 20), (8,-20), (24,116), (24, -116)。

44.4

(a)

y²が奇数なら、xは偶数だから、y²≡7 (mod 8) 。

しかし奇数の平方はmod 8で1または5しかありえないので、

このようなyは存在しない。したがって整数解(x,y)が存在すれば

yは偶数となるので、x³は奇数、すなわちxは奇数。

(b)

y²+1= x³+2³=(x+2)(x²-2x+4)。

(c)

x=2n+1 (n∈ℤ )とすると、x²-2x+4=4n²+3≡3 (mod 4) 。

mod 4で1の数同士の積はmod 4で1だから、

奇数x²-2x+4を割る奇素数qの中に、

q≡3 (mod 4) となるものが存在しなければならない。

(d)

(b)(c)により、y²+1≡0 (mod q)すなわちy²≡-1 (mod q)だが、

q≡3 (mod 4) なので平方剰余の相互法則により(-1/q)=-1。

したがってこのようなyは存在しない。

よって(a)と合わせ、Eは整数解を持たない。

44.5

(a)

(2,±3), (22, ±103)。

(b)

(1318,-47849)

44.6

(a)

任意に整数tを選んでy=txとすると、x=t²-1なら解になるから、

整数解は無数にある。

(b)

判別式=0なのでSiegelの条件を満たさない。

(c)

y²=(x-1)²(x+1)だから、x=(平方数-1)ならy²は平方数になるので、

無数の整数解がある。