シルヴァーマン 「はじめての数論」第3版 第43章練習問題

43.1

(a) (-8/9, 109/27)

(b) (5234, -378661)

(c) (752/529, 54239/12167)

43.2

(a) R(13, -47)

(b) S(25/36, -37/216)

(c) T(685/121, 18157/1331)

(d) Tに一致する。

43.3

定義よりsize(Q_i)は正または0の整数だから、

size(Q_i)> size(Q_i+1)>の下降列は有限個で終了する。

43.5

(a)

y>0に対しdy/dx=(3/2)(x+1)(x-1)/√(x³-3x+7)より、y=3x/2。

(b)

Q(-7/4,-21/8)。

(c)

R(-7/4,21/8)から、(-6/25, 694/250)。

  

43.6

Lの式をE₁の式に代入して整理すると、

(x+2)[x²-(m²+2)x+(-2m²-6m+4)]=0。

この方程式がx=-2以外の有理解を持つためには、

[]の中の判別式=m⁴+12m²+24m-12=0でなければならない。

43.7

(a)(b)とも判別式が0。原点で微分不可で、グラフにカスプがある。

43.8

(a)

練習問題43.1, 43.2と同様に一般の場合について計算して、

x₃=-(a+x₁+x₂)+g²

y₃=g[-a-3(x₁+x₂)/2+g²]+(y₁+y₂)/2

g=(y₁-y₂)/(x₁-x₂)

を得る。

(b)

(a)で得た公式から明らかにP⊕Q=Q⊕P。

(c)

P⊕Q (6266/1225,574461/42875)

Q⊕R (7491/5041,-566370/357911)

P⊕R (73,-636)

(P⊕Q)⊕R (73,636)

P⊕(Q⊕R) (73,636)

で一致する。驚いた。