演習問題1
普通にyの各冪の係数を比較するだけ。
演習問題2
上付き線のフォントが出ないので、aの複素共役をaで表す。
ω2=(-1-i√3)/2=ωなので
y2=ω 3√[(-1+√5)/2]+ω2 3√[(-1+√5)/2]=ω2 3√[(-1+√5)/2]+ω 3√[(-1+√5)/2]=y3。
演習問題3
p=0のときy3+q=0の根は-3√q, -ω 3√q,- ω2 3√q。
Cardanoの公式でp=0とすると最初の立方根の項は消えるので同じ根を得る。
ただしCardanoの公式を導出する過程でz1=0となるので、
z2=-p/(3z1)とおくことはできない。
演習問題4
ω=(-1+i√3)/2, ω2=(-1-i√3)/2を用いて普通に計算するだけ。
演習問題5
(a)
x=y-b/2とおくとx2+bx+c=y2-(b2-4c)/4=0なので、
y=±√(b2-4c)/2。これよりx=±√(b2-4c)/2-b/2=[-b±√(b2-4c)]/2となり、
二次方程式の解の公式（単多項式に対する）を得る。
(b)
x=y-b/4とおくと、y3の係数=4(-b/4)+b=0となるので、3次の項を消せる。
(c)
n次単多項式pn(x)=xn+bxn-1+...+cにおいてxn-1の係数をbとし、x=y-b/nとおくと、
二項定理からyn-1の係数=nC1(-b/n)+b=n(-b/n)+b=0となるので、
n-1次の項を消せる。
演習問題6
(a)
x=1は与式の実数根。一方Cardanoの公式より、
z1=3√[1+(2/3)√(7/3)], z2=3√[1-(2/3)√(7/3)]として
x1=z1+z2, x2=ωz1+ω2z2, x3=ω2z1+ωz2。
z1, z2は実数だから根の中で実数はx1のみである。
したがってx1=1=3√[1+(2/3)√(7/3)]+3√[1-(2/3)√(7/3)]。
(b)
普通に展開して[1/2+(1/2)√(7/3)]3=[1+√(7/3)]3/8=1+(2/3)√(7/3)。
この式の実三乗根をとって1/2+(1/2)√(7/3)=3√[1+(2/3)√(7/3)]= z1。
同様に[1/2-(1/2)√(7/3)]3=[1-√(7/3)]3/8=1-(2/3)√(7/3)の実三乗根から
1/2-(1/2)√(7/3)=3√[1-(2/3)√(7/3)]=z2。
したがってx1=z1+z2=1/2+1/2=1。
演習問題7
x3+px+q=0 (1)において
z1=3√{[-q+√(q2+4p3/27)]/2}, z2=3√{[-q-√(q2+4p3/27)]/2}とすると、
x1=z1+z2, x2=ωz1+ω2z2, x3=ω2z1+ωz2。
x3+ωpx+q=0 (2)においては、(1)式でpの代わりにωpとおけばよく、
ω3p=p3だから立方根の中は変わらない。
ただし(1)を解く過程でz2=-p/(3z1)とした代わりに-ωp/(3z1)、
すなわちωz2を用いることになる。したがって根は
x1=z1+ωz2, x2=ωz1+z2, x3=ω2z1+ω2z2。
x3+ω2px+q=0 (3)についても同様に、z2=-p/(3z1)とした代わりに
ω2z2を用いるいることになるので、
x1=z1+ω2z2, x2=ωz1+ωz2, x3=ω2z1+z2。
以上の9つの根で、異なる立方根の和の9個の組合せを尽くしている。
p,qと判別式の値により、これらの9個は値としては重複する場合もある。
演習問題8
演習問題7と例1.1.1により、y3+3y+1=0の三次分解方程式の根
z1=3√[1/2(-1+√5)], z2=3√[1/2(-1-√5)]を用いて、
y1=z1+ωz2, y2=ωz1+z2, y3=ω2z1+ω2z2。
解答のお陰で、Coxの本を読み進めています。
返信削除ところで、４．４節の解答がupされていません。
自分で解答もしないで、図々しいのですが、
どうぞ、ご教示下さい。
upをお待ちしています。
ガロワ理論勉強中の読者より
過疎なブログなもので、コメントに気づくのが遅れてすみません。
削除4.4節はアップはしてあったのですが、リンクが張れてませんでしたね。
リンク修正しました。