コックス「ガロワ理論」 2.3節の演習問題

演習問題1

数値計算にMaximaを用いた。

2.2節演習問題11により、y³+2y²-3y+5=0の解は、

z₁=∛{[-205/27+√(1231/27)]/2}=-0.7489953599313095

z₂=∛{[-205/27-√(1231/27)]/2}=13/(9z₁)= -1.928509202749819として

y₁=z₁+z₂-2/3= -3.344171229347796

y₂=ωz₁+ω²z₂-2/3=0.6720856146739+1.021488951996235i,

y₃=ω²z₁+ωz₂-2/3=0.6720856146739-1.021488951996235i,

これより

y₁³=-37.39947611043849,

y₂³=-1.800261984460769+0.31835471446792i,

y₂³=-1.800261984460769-0.31835471446792i。

Maximaを用いてx³+41x²+138x+125=0の解は

w₁=∛{[-90295/27+23√(1231/27)]/2}=-11.68260252979224

w₂=∛{[-90295/27-23√(1231/27)]/2}=-12.05020691397957

として

x₁=w₁+w₂-41/3=-37.39947611043849

x₂=-1.800261944780758+0.31835473524876i,

x₃=-1.800261944780758-0.31835473524876i。

で小数点以下第7位程度まで一致する。

演習問題2

Maximaのelemで計算してy³-122y²-379y-625=0

演習問題3

Maximaのelemで計算して∑₃ x₁³x₂²=σ₁σ₂²-2σ₁²σ₃-σ₂σ₃。

演習問題4

x₁=(x₂+x₃)/2とおくと、

-b=x₁+x₂+x₃=(3/2)(x₂+ x₃)

c= x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=(x₂+x₃)²/2+x₂x₃

-d=x₁x₂x₃=(x₂x₃/2)(x₂+ x₃)

これよりx₂+ x₃とx₂x₃を消去して、

2b³-9bc+27d=0。

ただこれでは、x₂=(x₁+x₃)/2とx₃=(x₁+x₂)/2の時が明らかでない。そこで

x₁=(x₂+x₃)/2より2x₁-x₂-x₃=0 (1)を用いる。

(1)式かまたは(1)式を対称に入れ替えた式が成り立つのだから、

(2x₁-x₂-x₃)(-x₁+2x₂-x₃)(-x₁-x₂+2x₃)=0。この左辺を計算して基本対称式で表すと、

Newtonの恒等式(or 2.2節演習問題17)や2.2節演習問題10も適宜用いて、

2σ₁³-9σ₁σ₂+27σ₃=0。-b=σ₁, c=σ₂, -d=σ₃より先と同じ式2b³-9bc+27d=0を得る。

演習問題5

演習問題4と同様に、x₁+x₂=0および対称に入れ替えた式を用いて、

(x₁+x₂)(x₁+x₃)(x₂+x₃)=σ₁σ₂-σ₃=-bc+d=0。

演習問題6

Maximaで計算してx⁴-4x³+9x²-9x+10=0。