コックス「ガロワ理論」 2.1節の演習問題

演習問題1

<x,y>がF[x,y]の自明でないPID、すなわちあるp∈F[x,y]が存在して

<p>=<x,y>⊂F[x,y]と仮定する。

このとき任意のg,h∈F[x,y]について、

あるq∈F[x,y]が存在してxg+yh=pqと因数分解される。

系A.5.7により、F[x,y]はUFDであるから、

この因数分解は単数を除き一意である。

すると、多項式としてx≠yで、x,yはF[x,y]において規約だから、

gとhがpを共通因数としてもつので、

単数をu₁,v₁∈Fとしてg=u₁pg₁, h=v₁ph₁ (g₁,h₁∈F[x,y])が

任意のg,hについて成り立ち、

(2.1)式よりdeg(g₁)=deg(g)-deg(p), deg(h₁)=deg(h)-deg(p)。

いまdeg(p)>0とすると、deg(g)>deg(g₁), deg(h)>deg(h₁)である。

g₁,h₁∈F[x,y]だから、あるq₁∈F[x,y]が存在してxg₁+yh₁=pq₁。

単数をu₂,v₂∈Fとしてg₁=u₂pg₂, h₁=v₂ph₂ (g₂,h₂∈F[x,y])となり、

deg(g₁)>deg(g₂), deg(h₁)>deg(h₂)。

同様に繰り返して、次数の無限降下列deg(g)>deg(g₁)>deg(g₂)>deg(g₃)>...,

deg(h₁)>deg(h₂)>deg(h₃)>deg(h₃)>...が存在することになるが、

次数には最小数0が存在するのでこれは不可能。

ゆえにdeg(p)=0でなければならない。

するとpは単数だからp ∈F , <p>=pF[x,y]で、

pp^-1=1となるp^-1∈F ⊂F[x,y]が存在するから、1∈<p>。

すなわち<p>は自明なイデアルF[x,y]に一致するから、

<p>⊂F[x,y]と矛盾する。

以上により<x,y>はF[x,y]のPIDではない。

演習問題2

(a)

yの降冪順に書いて7x³y³+3y²+x²y+3x

(b)

yの降冪順に書いて

y³-2(x₁+x₂+x₃) y²+[(x₁+x₂)(x₁+x₃)+(x₁+x₂)(x₂+x₃)+(x₁+x₃)(x₂+x₃)] y

+(x₁+x₂)(x₁+x₃)(x₂+x₃)

演習問題3

(a)

命題2.1.4の証明での選び方からσ_rの項の数は、

(x-x₁), (x-x₂),... ,(x-x_n)のn個の因子から、n-r個のxを選び出す場合の数だから、

項の数は_nC_n-r=_nC_r。

(b)

(a)により、σ_r(-α, -α,..., -α)は_nC_r個の(-α)^rの和だから、

σ_r(-α, -α,..., -α)= (-1)^r_nC_rα^r

(c)

命題2.1.4の(2.4)式において求値写像

f(x₁, x₂,..., x_n, x)→f(-α, -α,..., -α, x)を作用させているので、

系2.1.5において (b)によりa_r=(-1)^r(-1)^r_nC_rα^r=_nC_rα^r

したがって(x+α)ⁿ=∑_{0≤m≤n n}C_rα^rx^n-rとなり二項定理となる。